Matemática é Legal

MATRIZES e DETERMINANTES

(Prof. Fecchio)

1) MATRIZES – Definições:
1a)Chama-se matriz qualquer tabela de números dispostos em linhas e colunas (filas horizontais e verticais). Numa matriz A com m linhas e n colunas o elemento situado na i-ésima linha e j-ésima coluna é indicado por a ij e a matriz é indicada por A=

[ ]

Exemplo: A= a ij

2 x3

[a ]

ij mxn

.

 1 0 − 3
= 
 ,onde a11 = 1; a12 = 0; a13 = -3;
2 1 1 

a 21 = 2; a 22 = 1; a 23 = 1

Nas definições abaixo vamos considerar ∀ i ∈ {1,2,...,m} e ∀ j ∈ {1,2,...,n}.
1b) Duas matrizes A=

[a ]

ij mxn

e B=

[b ]

ij mxn

são iguais se seus elementos correspondentes forem iguais,

A = B ⇔ a ij = bij

ou seja,

2) SOMA E MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO:
2a) Matriz nula é a matriz A=

[a ]

ij mxn

tal que a ij =0.

[ a ] é a matriz B= [b ] , tal que b = − a .
2c) Chama-se soma de A= [ a ] com B= [b ] a matriz C= [ c ]
, tal que c = a
2d) Seja A= [ a ] e k ∈ R, o produto kA é igual á matriz B= [b ] tal que b = ka
2b) Matriz oposta de A=

ij mxn

ij mxn

ij

ij mxn

ij mxn

ij mxn

ij

ij

ij mxn

ij mxn

ij

ij

+ bij .

ij

3) PRODUTO DE MATRIZES:
3a) Chama-se matriz identidade de ordem n a matriz quadrada nxn onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais iguais a zero, ou seja,
 1 se i = j
I n = a ij n tal que a ij 
 0 se i ≠ j

[ ]

3b) Chama-se matriz transposta de uma matriz A=

[a ]

ij mxn

, a matriz

bij = a ji .

3c) Chama-se produto da matriz A=

[a ]

ij mxp

pela matriz B=

[b ]

ij pxn

[ ]

A t = bij

a matriz C=

nxm

[ cij ] mxn ,

tal que c ij = a i1 b1 j + a i 2 b2 j + a i 3 b3 j + ... + a ip b pi ,conforme indica o esquema abaixo:
 b1 j 
b 
 2 j  =B
 
 

[ ]

A = [ a i1 a i 2 ...] c ij = C

Exemplo:

 2 2
 2 3


 1 2  6 8 
A= 
 

 3 4  14 18

tal que

4) DETERMINANTES:
4a) Chama-se