matematica

ESTUDANDO A ESFERA

1. Superfície esférica e esfera

Sejam dados um ponto O e um numero real r positivo.
O conjunto de todos os pontos P do espaço cujas distancias ao ponto O são iguais a r é denominado superfície esférica de centro O e raio r.
O sólido limitado por uma superfície esférica chama-se esfera. Desse modo, a esfera de centro O e raio r é o conjunto dos pontos no espaço cujas distancias ao ponto O são menores ou iguais a r.
De uma forma bastante simples podemos dizer que a superfície esférica é a casaca enquanto a esfera é a reunião da “casca com o miolo”.
Naturalmente, as denominações dentro e raio são aplicadas indiferentemente a uma superfície esférica ou a esfera por ela limitada.

2. Área da superfície esférica
A área de uma superfície esférica de raio ré dada por: S=4Pir²
3. Volume da esfera
O volume de uma esfera de raio r é dado por:

V=4/3Pir³
4. Equação cartesiana

P(X,Y,Z) Po(Xo,Yo,Zo) d(P,Po)=√(X-Xo)²+(Y-Yo)²+(Z+Zo)=r (X-Xo)²+(Y-Yo)²+(Z-Zo)²=r²

5. Aplicação: volume de líquidos

EM SUA ULTIMA AQUISIÇÃO A EMPRESA SA QUIMICA LIDA COM UM PROBLEMA O CALCULO DO VOLUME DE UM RESERVATORIO DE ACIDO CLORIDRICO QUE DEVE TER OBRIGATORIAMENTE UM FORMATO ESFERICO. SABENDO QUE A ÚNICA INFORMAÇÃO DISPONIVEL É SUA CAPACIDADE QUE É DE 1000L.
ESSE PROBLEMA FOI RESOLVIDO PELO QUIMICO RESPONSÁVEL COM O AUXILIO DE UMA VARA COM INDICADORES DE MEDIDA ONDE É INTRODUZIDA VERTICALMENTE POR UM ORIFÍCIO NA PARTE SUPERIOR (POLO NORTE). AO RETIRAR A VARA, OBSERVASE O NIVEL DO LIQUIDO QUE FICA IMPREGNADO NA VARA E ESSA MEDIDA CORRESPONDE A ALTURA DE LIQUIDO CONTIDA NO RESERVATORIO.
FEITO ISSO O NIVEL DE ACIDO LIDO É DE 0,3M. COM O VALOR DESSA MEIDA FICA FACIL O CALCULO DO VOLUME, COMO É DEMONSTRADO ABAIXO.

Reservatório de Ácido Clorídrico

Calota esférica

R² = h (2R-h)
A(lateral) = 2 Pi R h
A(total) = Pi h (4R-h)
V=Pi.h²(3R-h)/3

Resolução