Matematica

Análise Combinatória
Fatorial de um número: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 Definições especiais: 0!=1 1!=1
100!+101! . 99! 100!+101! 100.99!+101.100.99! = = 100 + 101.100 = 100 + 10100 = 10200 99! 99! 2) Resolva a equação ( x + 1)! = 56. ( x − 1)! ( x + 1)! ( x + 1)( x)( x − 1)! = 56 ⇒ = 56 ⇒ ( x + 1)( x) = 56 ⇒ x 2 + x = 56 ⇒ ( x − 1)! ( x − 1)! ⇒ x 2 + x − 56 = 0 ⇒ x =

1) Calcule o valor da expressão

x = 7 − 1 ± 225 − 1 ± 15 ⇒ x= ⇒ 2 2 x = -8 Resposta : x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo. 3) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos campeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares? R : Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2 possibilidades para o 3º lugar → 4.3.2 = 24 possibilidades.

Arranjo simples:

An , p =

n! ( n − p )!

4) Calcule

A6, 2 + A4,3 − A5, 2 A9, 2 + A8,1

.

A6, 2 + A4,3 − A5, 2 A9, 2 + A8,1

6! 4! 5! + − (6 − 2)! ( 4 − 3)! (5 − 2)! 30 + 24 − 20 34 17 = = = = 9! 8! 72 + 8 80 40 + (9 − 2)! (8 − 1)!

5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos do sistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que : a) COMECEM COM 1. R : O número pode possuir três algarismos, sendo que para o primeiro existe apenas 1 possibilidade (1) e para os outros dois ainda existem 9 números disponíveis : 9! 9! 9.8.7! 1. A9, 2 = = = = 9.8 = 72 números. (9 − 2)! 7! 7! b) COMECEM COM 2 E TERMINEM COM 5. R : Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (2), e para o terceiro também existe apenas 1 possibilidade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades : 8! 8! 8.7! 1.1. A8,1 = = = = 8 números. (8 − 1)! 7! 7! c) SEJAM DIVISÍVEIS POR 5. R : Para um número ser divisível 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeiramente vamos calcular o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 : → Para o terceiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (0), e para