Matematica

Análise Matemática I

Trabalho 3

Elaborado por:

16 de Novembro de 2012

3. Considere um corredor com 4m de largura que acaba num outro corredor perpendicular, com 2m de largura.

a) - Determine o comprimento da maior vara que pode ser transportada horizontalmente de um corredor para o outro (deverá usar funções trigonométricas e desprezar o raio da vara).

Analisando a figura 1, verificámos que o comprimento desejado será C=C1 +C2.

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Pelos triângulos semelhantes vemos que:
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Expressões equivalentes, visto que o nosso objetivo é calcular C
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Gráfico de apoio para execução das nossas questões:
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Dando origem à expressão final da função:
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Vamos derivar a nossa função para verificar qual o valor máximo de x:
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Para facilitar os cálculos vamos utilizar as expressões equivalentes:
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sec – secante csc – cosecante ou seja:
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Utilizando as regras de derivação:
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Igualando a derivada da função a 0:
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Após a análise dos vários resultados, a raiz para resolução da questão é:
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Iremos calcular a segunda derivada para analisar o nosso ponto critico [pic]
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Substituindo [pic] [pic]

Como a derivada no ponto crítico é positiva e sendo o único ponto crítico, verificamos que o mínimo valor absoluto (real), ou seja, o comprimento máximo da vara será:
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Conclusão:
O comprimento máximo de uma vara transportada na horizontal perante os dados da questão será de 8.32m.

b) – E se for um tronco com 10cm de raio?

Perante este novo dado (raio =10cm) e voltando a analisar a questão recordando a nossa função inicial a qual desprezamos o diâmetro da vara:

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Houve a necessidade de colocar mais uma restrição, ou seja, para transportar o tronco com 10cm de raio, na horizontal a nossa função será: