matematica

8.2- Volume de Sólidos de Revolução
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido:
a)

A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices.

b) S é uma região limitada.
Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro)

8.2.1- Sólidos de Revolução - Método do Disco
Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira:
Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R.
Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução.
S
R

l

l
Área plana 1

Sólido gerado pela Rotação.

Girando o gráfico de uma função f(x) tem-se:

y

y = f(x) a b

r=f(x)=y

dV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx

x

b

V = π ∫ [f ( x )]2 dx a Área plana 2

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

Cálculo do elemento de volume

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Exercícios
1) Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].

y

(2,8)

(2,8)

y = x3
(1,1)
(1,1)

r

R

x
1

x

2

Área plana 3
Elemento de volume

2

2

2

1

1

1

V=π ∫ [ f ( x )] 2 dx = π ∫ [ x 3 ] 2 dx =π ∫ x 6 dx =π

 27 17  127 x7 2

=π 
 7 − 7  = 7 π =18,143π=56,99(unid vol)
7 1



2) Achar o volume gerado pela função f(x) =

a 2 − x 2 em [-a, a]

y y= -a

a

a2 − x2 = r

x
Sólido gerado pela rotação do semi-círculo Semi-círculo em rotação

a a 2

x3  a
V = π ∫ [ f ( x )] 2 dx = π ∫ [ a 2 − x 2 ] 2 dx =π ∫ [ a 2 − x 2 ] dx =π a 2 x −

3 −a



1
−a
−a

 a3   a 3 


= π a 3 −  − − a 3 +   = π
3  
3 

 



3

 a3 
 3 a
+ a3 −
a −
 =π
3
3 




3 

 3 2a 