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1a LISTA DE EXERCÍCIOS PROGRAMADOS DE ÁLGEBRA I

1. Dados os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}. Calcule:
a) A ∪ B
b) A ∩ B

c) A – B
d) B – A
e) A × B
2. Seja a um número inteiro diferente do zero. O conjunto {x∈ Z : a | x} é o conjunto dos números inteiros x que são divisíveis pelo número a.
Escreva relacionando os elementos dos conjuntos:
i.

{ x ∈ Z : -6< x < 6 e 3 | x}

ii.

{ x ∈ Z : x é primo e 2 | x}

iii.

{x∈ Z : 10 | x e x | 100}

3. Dê todos os elementos do conjunto A definido por:
A = { x ∈ Z / | x |≤ 3 }
4. Prove que:
i.

A ⊂ B se, e somente se, A – B = φ

ii.

Se A e B são conjuntos diferentes do vazio, então
A×B=B×A se e somente se A=B. Qual a razão da necessidade de A e B serem não vazios?

iii.

Se A = { x∈ Z : 4 | x} e B = { x ∈ Z : 2 | x} então A ⊂ B.

iv.

Se A é um conjunto qualquer e φ é o conjunto vazio então
A∩ φ = φ .

v.

Se A e B são conjuntos quaisquer então A ⊂ A ∪ B.

5. Dê exemplo de um objeto x que torne verdadeira a sentença x ⊆ {x}.
6. Seja A um conjunto qualquer. O conjunto P(A) = {X : X ⊂ A } é chamado de conjunto das partes de A. Se A={0,1,2,{3}}, determine P(A).
7. Escreva o conjunto A = {x∈ IR : x 2 > 1 e x 2 < 4 } como união de intervalos. Escreva também A ∩ Z.
8. Sejam A = {(x,y) ∈ IR 2 : y=ax+b} e ℜ a relação em A definida por: r ℜ s, r = a1 x+ b1 e s = a2 x+ b2 ⇔ a2 é múltiplo inteiro de a1 . Verifique se ℜ é uma relação de equivalência em A.
9. Discuta a validade das propriedades refexiva, simétrica e transitiva para as relações definidas por: x R y se e somente se (x,y) ∈ Ω .
a) Ω ={(x,y) ∈ IR 2 : x ≤ 0 e y ≥ 0 }
b) Ω ={(x,y) ∈ IR 2 : x. y ≤ 0 }
c) Ω ={(x,y) ∈ IR 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 }
10. Um casal tem 4 filhos: João, Pedro José e Paulo. Enumerar os elementos da relação R definida no conjunto de filhos do casal por :

x R y se e

somente se x é irmão de y. Que propriedades R apresenta?
11. Determinar todas as relações binárias sobre o conjunto Ω =