Matematica

Cap´ ıtulo 3

Teoria dos pontos fixos
Neste cap´ ıtulo introduzimos as no¸oes e fundamentos da Teoria dos Pontos Fixos para c˜ fun¸oes mon´tonas. Essa teoria ser´ relevante para observar os resultados de programas l´gicos como c˜ o a o pontos de convergˆncia de computa¸oes. Motiva-se a teoria de pontos fixos apresentando os teoree c˜ amas de Brouwer e Banach, e logo apresenta-se a teoria de ponto fixo no contexto de interesse da programa¸ao l´gica. c˜ o

3.1

Motiva¸˜o ca

Segundo John L. Casti em seu popular livro Five Golden Rules [Cas96], o teorema de ponto fixo de Brouwer ´ um dos cinco resultados mais relevantes da Matem´tica e um dos de maior impacto em e a outras areas logrado no s´culo XX. A classifica¸ao de Casti n˜o se limita a beleza matem´tica dos ´ e c˜ a ´ a resultados, mas tamb´m considera a utilidade destes. Outros resultados classificados por Casti nesse e seleto grupo de regras de ouro da Matem´tica do s´culo XX, incluem: o teorema de indecidibilidade do a e problema da parada para m´quinas de Turing, muito conhecido em computa¸ao; o teorema minimax a c˜ de von Neumann, utilizado em teoria dos jogos e otimiza¸ao e o tamb´m conhecido m´todo Simplex, c˜ e e utilizado extensivamente em programa¸ao linear. c˜ Um teorema de ponto fixo ´ essencialmente um resultado que estabelece condi¸oes para e c˜ que exista um elemento x do dom´ ınio de um operador P , tal que P (x) = x. Esses tipos de teoremas permitem aplica¸oes como provas de existˆncia de solu¸oes de equa¸oes diferenciais, pontos de c˜ e c˜ c˜ equil´ ıbrio em teoria de jogos, existˆncia de ra´ e ızes de equa¸oes, etc. c˜

3.1.1

Teorema do ponto fixo de Brouwer

Em topologia, o teorema foi inicialmente proposto pelo matem´tico holandˆs Luitzen E. Jan Brouwer a e ´ em 1910 e sua repercus˜o abrange tanto areas t´ a ´ ıpicas da Matem´tica (An´lise, Algebra, L´gica) quanto a a o areas tecnol´gicas como Engenharia, F´ ´ o ısica, Economia e Computa¸ao. O teorema de ponto fixo de c˜ 53

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