Matematica

7 Equa»~es diofantinas lineares co
Considere o seguinte problema. Se um trabalhador recebe 510 reais em t¶ ³quetes de alimenta»~o, com valores de 20 reais ou 50 reais cada t¶ ca ³quete, de quantas formas pode ser formado o carn^ de t¶ e ³quetes desse trabalhador ? Se x denota a quantidade de t¶ ³quetes de 20 reais e se y denota a quantidade de t¶ ³quetes de 50 reais ent~o a equa»~o 20x + 50y = 510 deve ser satisfeita e o problema ¶ a ca e resolvido determinando-se todas as solu»~es inteiras n~o negativas desta equa»~o. Esta co a ca equa»~o ¶ um exemplo de equa»~o linear diofantina em duas inc¶gnitas. ca e ca o Como outro problema de ilustra»~o, se o custo da postagem de uma encomenda ¶ ca e de 83 centavos e devemos usar selos de 6 e de 15 centavos, como combinar os selos na postagem ? Se x denota a quantidade de selos de 6 centavos e se y denota a quantidade de selos de 15 centavos ent~o a equa»~o 6x + 15y = 85 deve ser satisfeita e o problema a ca e co a ca ¶ resolvido determinando-se todas as solu»~es inteiras n~o negativas de tal equa»~o. Equa»~es polinomiais, em v¶rias inc¶gnitas, com coe¯cientes inteiros (ou racioco a o nais), das quais se buscam solu»~es restritas ao conjunto dos n¶meros inteiros, s~o habico u a tualmente denominadas de equa»~es diofantinas, em refer^ncia a Diofanto de Alexandria, co e algebrista grego do s¶culo 2, que estudou extensamente, em seu livro Arithmetica, a e obten»~o de solu»~es racionais de equa»~es polinomiais, com coe¯cientes racionais, em ca co co v¶rias inc¶gnitas. Fermat foi um estudioso sistem¶tico desse livro, tendo anotado, em a o a uma de suas p¶ginas, sua famosa conjectura, agora teorema, o \¶ltimo teorema de a u Fermat", que declara que n~o existem inteiros positivos x, y e z satisfazendo xn + y n = a z n , quando n ¸ 3. ca O problema de se determinar inteiros x1 , x2 , : : : , xn , satisfazendo uma equa»~o da forma a1 x1 + a2 x2 + ¢ ¢ ¢ + an xn = b, sendo a1 , a2 , : : : , an e b n¶meros inteiros (ou u racionais) ¶ o