Matematica aplicada

21/03/2013

Matemática Aplicada

Tema 6: Conceito de Derivada

Profa. Ma. Ivonete Melo de Carvalho

Variação Média
• Chama-se de taxa média de variação à razão m, tal que:

m

y y f  yi  x x f  xi

ou , ainda f f ( x  x )  f ( x ) m  x x

Determine a taxa de variação média da função produção dada por P(q) = 3q2 para o intervalo 3 ≤ q ≤ 5. qi  3 qf  5 m   Pi  3 * 3 2  27 Pf  3 * 5 2  75

P 75  27 48   24  53 2 q

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Incremento
• Um “incremento” é um acréscimo (valor positivo) muito pequeno, tendendo a zero. • A partir do uso de um incremento é que se calcula a variação instantânea de uma função.

Variação Instantânea
Chama-se de taxa de variação instantânea à razão m, tal que:

f h 0 h f ( x  h)  f ( x ) m  lim h h 0 m  lim

Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea a produção para q = 1. Para facilitar o cálculo, o exercício será resolvido por partes.

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Primeira Parte
• Cálculo de P(1):

P(1)  3 * 12  3 * 1  3
• Cálculo de P(1 + h):

P(1  h)  3 * (1  h)2 P(1  h)  3 * (1  2h  h 2 ) P(1  h)  3  6h  3h 2

Segunda Parte
• Calcular a diferença

P(1  h)  P(1)  3  6h  3h2  3 P(1  h)  P(1)  6h  3h2

Terceira Parte
• Calcular a variação instantânea

6h  3h2 h0 h h * (6  3h) m  lim h0 h m  lim (6  3h) m  lim h0 m  63*0 m6

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Derivada
Uma derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função num determinado ponto.

Variação Instantânea Inclinação da Reta Tangente
O coeficiente m (obtido pela razão incremental) é definido como o coeficiente angular da reta tangente à curva em cada um de seus pontos.

m  lim m  lim

f h0 h f ( x  h)  f ( x ) h h0

Obtenção da Reta Tangente
Para obter a reta tangente, basta fazer:

y  y0  m * (x  x0 )
Exemplo: Escrever a equação da reta tangente à curva y = x3, para x = 1.

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Primeiro Passo
Determinar a