MAT241Lista1

Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Departamento de Matemática

Primeira Lista de Exercícios
MAT 241 – Cálculo III
1. Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando ( V ) para verdadeiro ou ( F ) para falso.
Justifique sua resposta !
(a) ( ) Se os vetores u = (x,1,3) e v = ( x,−1,−1) são ortogonais, então x = 2 ou x = −2 .
(b) (

) Se u e v têm a mesma norma (comprimento), então u − v e u + v são ortogonais.
(c) ( ) Existe um plano que contém os pontos A(1, 0 , − 1 ) , B( 0 , 2 , 3 ) , C ( − 2 ,1,1 ) e D( 4 , 2 , 3 ) .
(d) ( ) O triângulo determinado pelos pontos, A( 3 , 2 , − 1 ) , B( 2 , − 1,1 ) e C ( 7 , 0 , − 2 ) é um triângulo retângulo.

(e) (

) Se u ⋅ v = u ⋅ w com u ≠ 0 , então v = w .
(f) ( ) O volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto
(g) (
(h) (
(i)

)

)
( )

A(5,4,5) e os três vértices adjacentes nos pontos B( 4,10,6) , C (1,8,7) e D (2,6,9) é igual a 52.
O ponto A( 7 , 6 , 5 ) pertence ao segmento de reta r : x = 1 + 3 t , y = 2 + 2 t e z = 3 + t , onde 0 ≤ t ≤ 1 .
A área do triângulo determinado pelos vetores u = i + j + k e v = −2i + 3 j − k é 4 .
A equação da esfera de centro C ( − 2 , 4 , − 1 ) e tangente ao plano-yz é x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 8 y + 2 z + 17 = 0.

(j)

( ) O raio da esfera que contém os pontos A(3,1,4) ,

B(0,5,3) e C (4,4,0) e tem seu centro

no plano xy é igual a 3.

2. Sabendo que u = 5 , v = 2 , u ⋅ v = −2 , u ⋅ w = 1 e v ⋅ w = 7 , calcule:
(b) (5u − 4v ) ⋅ (− u + w)

(a) 4u ⋅ ( 2v + 3w)

3. Mostre que para quaisquer vetores u e v , tem-se:
(a) u + v

2

(b) u + v

2

(c) u − v
(d) u + v

+ u−v

2

(

=2 u

2

+ v

= u

2

+ 2u ⋅ v + v

2

2

= u

2

− 2u ⋅ v + v

2

2

− u−v

2

2

)

= 4u ⋅ v

(e) u ⋅ v ≤ u . v
(f) u + v ≤ u + v
4. Sejam u = xi + yj e v = ai + bj . Prove que:
(a) x − a ≤ u − v
(b) y − b ≤ u − v
(c) u − v ≤ x − a + y − b
5. Seja v = ai + bj . Se v = 3 , determine os valores máximo e mínimo que

v+ j v− j

pode ter.

6. (a) Sejam a e b vetores, com