Lógica de Boole

1. Introdução

• O nome do matemático inglês George Boole (1815 – 1864) se vincula a uma ideia bastante ousada e interessante: a de “matematizar” o raciocínio lógico. De certa forma, essa ideia o coloca numa linha que envolve pensadores como Aristóteles e Leibniz, e que desemboca na “lógica clássica”, da qual a lógica nebulosa pode ser considerada uma extensão.

2. Álgebra de Boole

• Sem a pretensão de adotar uma perspectiva de extremo rigor matemático, tentaremos imediatamente definir o que é uma álgebra de Boole.
• Definamos a sêxtupla {S, +, . , ’, 0, 1}, sendo S um conjunto com elementos x, y, z, ...,
“+” / “.” / “ ’ ” três operações envolvendo elementos desse conjunto e 0 / 1 dois elementos específicos de S. Essa sêxtupla será uma álgebra de Boole se forem válidos os seguintes axiomas: Associatividade: x + (y + z) = (x + y) + z e x.(y.z) = (x.y).z Comutatividade: x + y = y + x e x.y = y.x Distributividade: x+(y.z) = (x+y).(x+z) e x.(y+z) = x.y + x.z x + 0 = x e x.1 = x x + x’ = 1 e x.x’ = 0
A partir desses axiomas, diversos resultados importantes podem ser demonstrados: Os elementos 0 e 1 são únicos Cada elemento tem um único complemento (x’)’ = x x + x = x e x.x = x x + 1 = 1 e x.0 = 0 x+(x.y) = x e x.(x+y) = x Leis de Morgan: (x+y)’ = x’.y’ e (x.y)’ = x’ + y’

2.1 Interpretações Lógicas

• Por se tratar de uma definição algébrica geral, é possível interpretar a construção acima de várias formas. Uma delas, de enorme relevância, é considerar a álgebra de Boole como sendo uma descrição de um sistema lógico em que são atribuídos apenas dois “valores-verdade” (truth values) para as proposições (verdadeiro ou falso, T ou F, 1 ou 0), e no qual as operações vistas (+, ., ’) acima correspondem às operações lógicas OR, AND e NOT.
• Em tal caso, percebemos que o conjunto S passa a ser simplesmente o conjunto {0,1}, ou seja, as variáveis - que se associam a proposições - só podem assumir dois valores.
Perceba