Logaritmos

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Temos 2 casos a considerar:  quando a>1;  quando 0 x>-5 log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}.

2) log2(log4 x) = 1
Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0 log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}.

3) Resolva o sistema:

Resolução: condições de existência: x>0 e y>0
Da primeira equação temos: log x+log y=7 => log y = 7-log x
Substituindo log y na segunda equação temos:
3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>

=> log x =3 => x=103
Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos: log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.
Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}.

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos de inequações logarítmicas:
1) log2x > 0 (a solução é x>1)
2) log4(x+3)  1 (a solução é –31
0n>0
(as desigualdades têm mesmo sentido) logam > logan  00, ou seja, x>-2 (S1)
Como a base (2) é maior que 1, temos: x+2>8 e, daí, x>6 (S2)
O conjunto solução é S= S1  S2 = {x  IR| x>6}.
Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está representado logo abaixo no desenho:

2) log2(log3x)  0
Resolução:
Condições de existência: x>0 e log3x>0
Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim: log2(log3x)  log21
Sendo a base (2) maior que 1,