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Capítulo IV
Números Complexos

O estudo dos números complexos permite resolver inúmeras questões no ramo da eletrônica, mecânica, elétrica, engenharia aeronáutica, geometria, dentre outros. Uma aplicação indispensável dos números complexos é na Transformação de Joukowski, que possibilita aos engenheiros aeronáuticos a realização de estudos sobre aerofólios e suas influências na força de sustentação dos aviões.
Nos circuitos elétricos, têm-se outra aplicação clássica dos números complexos, possibilitando o estudo dos circuitos reativos, ou seja, os circuitos que contém resistores, capacitores e indutores.
Vejamos o histórico da evolução dos números complexos para posteriormente nos ocuparmos da evolução dos conhecimentos.

1. Introdução e histórico

Por volta do ano de 1500, acreditava-se que os números reais eram suficientes para a resolução de todos os problemas de medida. Um dos pensamentos correntes era de que raízes quadradas de números negativos não existiam e quando os matemáticos se deparavam com equações do 3º grau do tipo , consideravam-nas sem solução. Em 1545, Jerônimo Cardano (1501-1576) publicou um livro chamado “Ars Magna” (A Grande Arte), mostrando o método para resolver equações de terceiro grau, que hoje é chamado de Fórmula de Cardano:

Raphael Bombelli (1526-1573), discípulo de Cardano, publicou seu livro “l´Algebra” (Álgebra) em 1572. No capítulo II dessa obra, trouxe a equação . Ao aplicar a fórmula de Cardano obteve:

A conclusão que poderia ser tirada é que esta equação não possui raízes reais. Entretanto, Bombelli observou que 4 é uma solução real da equação referida, afinal para x = 4, tem-se . Aplicando as regras usuais da álgebra ao operar com as raízes quadradas de números negativos, Bombelli mostrou que: Logo,

Analogamente,

Assim, concluiu que:

A partir de Bombelli os matemáticos passaram a usar as raízes quadradas de números negativos, considerando como um novo tipo de número. Leonhard Euler (1707-1783) usou, em 1777,