Lista1Resolvida

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIARIDO-UFERSA.
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
EXATAS E NATURAIS.
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BACHARELADO EM CIENCIA
E TECNOLOGIA.
DISCIPLINA DE GEOMETRIA ANAL´
ITICA.
(parte da lista 1 resolvida.)
1. Verifique se ´e verdadeira ou falsa cada afirma¸c˜ao e justifique sua resposta.
−−→
a) (A, B) ∈ AB
−−→ −−→
b) AB//CD ⇒ AB//CD
−−→ −−→
c) (A, B) (C, D) ⇔ AB = CD
−−→ −−→
d) AB = CD ⇒ A = C e B = D
Solu¸
c˜ ao: −−→
a) Verdadeiro. Tendo em vista que o vetor AB ´e umaclasse de equipolˆencia de segmentos orientados. Logo, se (A,B) ´e um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante ser´a indicado
−−→
−−→ por AB. Portanto, (A,B) pertence ao vetor AB.
−−→ −−→
b) Verdadeiro. Dizemos que dois vetores n˜ao nulos, no caso AB e CD, s˜ ao de mesma dire¸c˜ao, ou paralelos, se os segmentos geom´etricos,
AB e CD, tˆem mesma dire¸c˜ao, ou s˜ao paralelos. Assim, como AB ´e
−−→
−−→ paralelo a CD, temos que AB ser´a paralelo a CD.
c) Verdadeiro. Tendo em vista que, a rela¸c˜ao de equipolˆencia ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia. Se o segmento (A,B) ´e equivalente a (C,D), ou seja, (A, B) ∼ (C, D), necessariamente seus vetores ser˜ao iguais,
−−→ −−→ isto ´e, AB = CD.
−−→ −−→
d) Falso. Sendo AB = CD, n˜ao necessariamente, A=C e B=D. Tendo em
−−→
vista que, um mesmo vetor AB ´e determinado por uma infinidade de segmentos orientados, e s˜ao todos equipolentes entre si. No entanto, cada vetor ser´ a formado por pontos distintos, n˜ao existindo igualdade entre tais pontos.
2. Quais s˜ ao a origem e a extremidade de um representante do vetor abaixo?
−−→ −−→ −→ −−→ −−→
BC + GH − F A − GC + F B
Solu¸
c˜ ao: −−→
−−→
Sabemos, por defini¸c˜ ao, que um vetor qualquer AB ´e igual a −BA. Por
→
→ defini¸c˜ ao tamb´em, dados − u e− v , sejam (A,B) um representante qualquer
→
−
→
de u e (B,C) o representante de − v que tem origem B. O vetor soma de
−→
→
−
→
−
→
→
u com v , ´e o vetor que tem (A,C) como representante: − u +− v = AC.
−−→ −−→ −→ −−→
Assim, com tais conceitos, resolvemos a