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1a Lista de Introdu¸c˜ao a` Algebra
Linear
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Profa Erica
Resende Malaspina - e-mail: [e-mail]
2 4 −3
,B =
0 4 5 equa¸co˜es, justificando cada passo:

1. Dadas as matrizes A =

5 0 1 eC =
−2 0 0

1 0 0
, resolva as seguintes
0 1 2

1
(X + A) = 3[X − (3X + B)] + C
3
(b) −5(X + A) = −1
(X + B) + X − C
5
(a)

2. Dadas as matrizes A =

y+4
2
2
9
x +4

eB=

12 2
, verifique se existem x, y ∈ R tais
9 53

que A = B.
3. Dadas as matrizes A =

x2 − 40 y 2 + 4
6
3

eB =

41 13
, verifique se existem x, y ∈ R
6 3

tais que A = B.
4. Prove que, para qualquer matriz quadrada A, o produto AAT ´e uma matriz sim´etrica.
5. Uma matriz quadrada A diz-se idempotente se A2 = A.
(a) Mostre que se AB = A e BA = B, ent˜ao A e B s˜ao idempotentes;
(b) Se A ´e idempotente, mostre que B = I − A ´e idempotente e que AB = BA = 0.


2 −2 −4
4 .
6. Mostre que A2 = A para A = −1 3
1 −2 −3
7. Verifique se s˜ao verdadeiras ou falsas as afirma¸co˜es a seguir:
(a) Se A e B s˜ao sim´etricas, ent˜ao A + B e A − B s˜ao sim´etricas;
(b) Se A e B s˜ao sim´etricas, ent˜ao AB ´e sim´etrica;
(c) Se A e B s˜ao anti-sim´etricas, ent˜ao A + B e A − B s˜ao anti-sim´etricas;
(d) Se A e B s˜ao matrizes invers´ıveis de mesma ordem, ent˜ao A + B ´e invers´ıvel;
A + AT
A − AT
´e sim´etrica e
´e anti-sim´etrica;
2
2
(f) A u
´nica matriz que ´e sim´etrica e anti-sim´etrica ao mesmo tempo ´e a matriz nula;

(e) Se A ´e uma matriz quadrada, ent˜ao

(g) Se A ´e uma matriz sim´etrica e B ´e uma matriz anti-sim´etrica, ent˜ao AB ´e sim´etrica;
(h) Se A ´e uma matriz anti-sim´etrica, ent˜ao A3 ´e sim´etrica.
8. Mostre que toda matriz quadrada pode ser escrita como a soma de uma matriz sim´etrica com uma matriz anti-sim´etrica.
9. Se A e B s˜ao matrizes quadradas de mesma ordem, ent˜ao (A + B)2 = A2 + B 2 + 2AB?

10. Suponha que A, B, C e D s˜ao matrizes invers´ıveis de mesma ordem. Resolva cada equa¸ca˜o a seguir, na vari´avel X, simplificando o m´aximo poss´ıvel:
(a) AXB = C;
(b) ACXB = D;
(c) A(B + X)