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Prof. Celso – Módulo 3
Transformada de Laplace
Números Complexos
Um número imaginário unitário é definido como: j = −1

logo,

j 2 = −1

Um número complexo é definido como sendo a soma de um número real com um número imaginário, tal que: c = x + jy

(1)

sendo: parte real parte imaginária

Re{c} = x
Im{c} = y

Formas Retangular, Exponencial e Polar
A equação (1) é definida como forma retangular do número complexo. A forma exponencial é expressa como: c = r.e jθ

onde: r= (x

(2)

2

+ y2

)

r (ou ‫׀‬c‫)׀‬

magnitude (ou módulo) de c

y θ ângulo de c x Pode-se converter um número complexo da forma exponencial para forma polar através das equações:

θ = arctan

x = r. cos θ y = r.senθ

A forma polar é expressa como:

c = c ∠θ = r.∠θ

(3)

Eixo imaginário y Im c = x + jy

c = r.ejθ

y r x
.

Eixo real

θ x Re
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Prof. Celso – Módulo 3
Transformada de Laplace
Exemplo 1: Expressar c = 4 + j3 nas formas exponencial e polar.
Calculando o módulo e o ângulo do número: r = (4 2 + 3 2 ) = 5

θ = tg −1 (3 / 4) = 36,9 o
Forma exponencial:

c = 5.ej36,9º

Forma polar: c = 5∠36,9 o

Operações Matemáticas
Conjugado de um número complexo c = x + jy é definido por c * = x − jy c * = r∠ − θ
Adição ou subtração: Adicionam-se (ou subtraem-se) suas partes reais e suas partes imaginárias. Seja:
C1 = x + jy
C2 = a + jb
C1 + C2 = (x + a) + j(y + b)

C1 = 4 + j3
C2 = 1 – j
C1+C2 = 5 + j2

4 + j3
1 -j
C1-C2 = 3 + j4

Multiplicação:
C1 = x + jy
C2 = a + jb
C1 . C2 = (x + jy).(a + jb)

Na forma polar:

C1 = 4 + j 3

C1 = x + jy

= r1

θ1

C2 = a + jb

= r2

θ2

C1.C2 = r1.r2 θ1 + θ2
.

= x.a + x.jb + jy.a + jy.jb
= x.a + j(x.b + y.a) + j2y.b
= (x.a – y.b) + j(x.b+y.a)

C2 = 1 − j

como j2 = -1

⇒ 5∠36,9 o
⇒

2∠ − 45 o

C1.C 2 = (4.1 − (3. − 1)) + j (4.(−1) + 3.1) = 7 − j

C1.C 2 = 5∠36,9 o. 2∠ − 45 o = 5. 2∠ − 8,1o
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