Lista de fvr1

5a Lista de Exerc´ ıcios
Quest˜o 1. Utilizando mudan¸a de vari´veis calcule as seguintes integrais: a c a ∫ 1 (a) dx 2x + 1 ∫ (b) (3x2 + 1)4 dx ∫ sen2 (x).cos(x)dx (c) ∫ 3 (d) (3x + 1) 2 dx ∫ 3x2 + 2x (e) dx x3 + x2 ∫ x (f) dx x2 + 1 ∫ (g) cos3 (3x).sen(3x)dx ∫ arcsen(x) √ (h) dx 1 − x2 ∫ 2 (i) e−u udu ∫ (j) tg(x)dx ∫ sec2 (x) dx (k) tg 3 (x) ∫ ln(x) (l) dx x ∫ (m) cossec(x)dx

1

∫ (n) √

x2 dx 1 − x6

Quest˜o 2. Calcule a

1 dx. 4 − x2 1 Sugest˜o: note que f (x) = √ a ´ quase a derivada de arcsen(x). No e 4 − x2 entanto, na derivada de arcsen(x) aparece 1 e n˜o 4 no radicando. Para fazer a √ com que isso aconte¸a, coloque 4 em evidˆncia dentro da raiz e, sem seguida, c e

∫

fa¸a uma mudan¸a de vari´vel conveniente. c c a ∫ Quest˜o 3. Calcule cos2 (x)dx. a Sugest˜o: use a identidade trigonom´trica cos2 (x) = a e ∫ √ Quest˜o 4. Calcule a 1 − x2 dx. 1 + cos(2x) . 2

Sugest˜o: note que n˜o adianta colocar u = 1 − x2 (por quˆ?). Neste caso, a a e ´ conveniente fazer u = sen(x). Para voltar ` vari´vel original x ap´s a e a a o mudan¸a de vari´vel utilize a seguinte identidade sen(2u) = 2sen(u)cos(u). c a ∫ 1 Quest˜o 5. Calcule a 3 dx. (1 + x2 ) 2 Sugest˜o: fa¸a x = tg(u). Para voltar para a vari´vel original x use as a c a 1 seguintes identidades trigonom´tricas sec2 (u) = tg 2 (u)+1; cos2 (u) = e sec2 (u) 2 2 e cos (u) + sen (u) = 1. Quest˜o 6. Usando integra¸˜o por partes calcule as seguintes integrais: a ca ∫ ln(x)dx (a) ∫ (b) ex cos(x)dx ∫ (c) x2 ex dx. Sugest˜o: fa¸a u = x2 e dv = ex dx. a c ∫ (d) x.sen(x)dx ∫ (e) x2 ln(x)dx ∫ (f) (x − 1)ex dx 2

∫ (g) ∫ (h) ∫ (i) ∫ (j) ∫ (k) ∫ (l) cos3 (x)dx sen3 (x)dx x3 ex dx
2

arctg(x)dx e2x cos(3x)dx √ x3 1 − x2 dx

Quest˜o 7. Usando as identidades a e b calcule as integrais seguintes: a ∫ ∫ −cos(x).(sen(x))n−1 n − 1 n (a) sen (x)dx = + (sen(x))n−2 dx n n ∫ ∫ sen(x).(cos(x))n−1 n − 1 n (cos(x))n−2 dx cos (x)dx = + (b) n n ∫ (c) sen3 (x)dx ∫ (d) cos3 (x)dx ∫ (e) sen5 (x)dx Quest˜o 8. Utilizando