lista de exercicios

1. Para as funções abaixo, determine as derivadas que se pede:
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑦 2 calcule 𝑓𝑥 (2,1) 𝑒 𝑓𝑦 (2,1)

,

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥 2 − 2𝑦 2 , calcule
𝑓𝑥 (1,1) 𝑒 𝑓𝑦 (1,1)
𝑥

c) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 (

1+𝑦

𝜋

𝜋

2

2

)

,

calcule

𝑓𝑥 ( , 0) 𝑒 𝑓𝑦 ( , 0)
d) ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒 𝑥𝑦 𝑙𝑛𝑧
,
calcule
𝑓𝑥 (0,1,1) , 𝑓𝑦 (1,2, 𝑒) 𝑒 𝑓𝑧 (0,1,2)
2. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (

𝑥𝑦

𝑦−1

b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 −𝑥

)

2 −𝑦 2

4. A Temperatura na superfície de uma placa de aço varia de acordo
−3𝑦
com 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2 2 . Determine
𝑥 +𝑦 +1

a taxa de variação da função, quando: a) Estamos no ponto (-1,-1) e nos deslocamos paralelamente à direção 𝑥;
b) Estamos no ponto (0,0) e nos deslocamos paralelamente à direção 𝑦.
5. Mostre que o Teorema de ClairautSchwarz é válido para as seguintes
𝜕2 𝑓

funções, calculando

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕2 𝑓

e

𝜕𝑦𝜕𝑥

para cada uma delas:
a) 𝑓 = ln(√𝑥 2 + 𝑦 2 )

c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 5 + 3𝑥 3 𝑦 2 + 3𝑥𝑦 4

b) 𝑓 = 𝑥. 𝑡𝑔(2𝑦 + 𝑥)

d) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 + 6𝑥𝑦𝑧

c) 𝑓 = 𝑥𝑦𝑒 𝑦

e) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝑦𝑧)

d) 𝑓 = 𝑥 4 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 5

f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
g) 𝑔(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 2 + 𝑦)
h) ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = cos(4𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧)
3. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções: a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑦 2
b) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛2 (𝑚𝑥 + 𝑛𝑦)
c) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝑦𝑧)

6. Determine a equação do plano tangente ao gráfico das seguintes funções nos pontos indicados:
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 + 𝑦 2 , ponto P(1,1,3);

no

b) 𝑔(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ponto P(0,0,4);

,

c) ℎ(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦
P(1,1,1)

ponto

,

no

no

d) 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(𝑥𝑦𝑧)
Prof. Jorge Salles

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7. Suponha que 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 4 , e que as variáveis 𝑥 e 𝑦 dependam da variável independente, 𝑡 segundo as funções 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑒 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡.
Determine:
a) A