Lagranje

Aula 7: Interpolação polinomial de Lagrange
7.1 Interpolação

Seja f uma função real definida num conjunto de pontos x0 , x1 , . . . , xn . Pretende-se calcular o valor de f (x), com x = xi , i = 0, 1, . . . , n. Tal situação é muito frequente, por exemplo, no contexto das equações diferenciais. Quando se usam métodos numéricos para aproximar a solução de uma equação diferencial esta fica apenas conhecida num conjunto de pontos. A interpolação permite assim encontrar uma função que passa por esse conjunto de pontos e que pode funcionar como uma aproximação à solução da equação. Em linhas gerais, o conceito de interpolação consiste em determinar uma função ψ(x) = a0 ψ0 (x) + · · · + an ψn (x), gerada por uma certa família de funções {ψk }n , por forma a que k=0 f (xi ) = ψ(xi ), i = 0, 1, . . . , n.

A função ψ nestas condições é designada por função interpoladora de f nos pontos de suporte (interpolação) x0 , x1 , . . . , xn . Nada nos garante que o problema da interpolação tenha sempre solução. Por exemplo, fazendo ψ0 (x) = 1 e ψ1 (x) = x2 , não existe nenhuma função ψ(x) = a0 + a1 x2 que passe nos pontos (1, 1) e (−1, 0).

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Interpolação polinomial de Lagrange

Um caso particular de interpolação com grande importância devido ao grande número de aplicações é a interpolação polinomial. Além disso, as fórmulas desenvolvidas para a interpolação polinomial estão na base do desenvolvimento de muitos métodos numéricos para o cálculo de raízes de equações não lineares, cálculo de integrais e derivadas, bem como a resolução de equações diferenciais. No caso da interpolação polinomial, as funções geradoras são, por exemplo, ψk (x) = xk , k = 0, 1, . . . , n.

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Definição 7.1 Seja f uma função definida num intervalo [a, b] e conhecida nos pontos da partição a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b. (7.1) Um polinómio P que satisfaz f (xi ) = P (xi ), i = 0, 1, . . . , n, (7.2)

é chamado polinómio interpolador (de