Juros compostos

Juros Compostos
“O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza.” Dizem que essa frase foi atribuída a Albert Einstein. Não sei se é verdadeira, mas o fato é que é correta.
Juro composto é o conhecido juros sobre juros, ou seja, é quando o seu juros é reinvestido. Para facilitar, vamos dar um pequeno exemplo antes de entrarmos na matemática dos juros compostos.
Exemplo: Você colocou R$ 1.000,00 em uma aplicação que rende 1% ao mês. No primeiro mês você tem então R$ 1.000,00 x (1 + 0,01) = R$ 1.010,00. No segundo mês você tem R$ 1.010,00 x (1 + 0,01) = R$ 1020,10. Note que enquanto o primeiro rendeu apenas R$ 10,00 o segundo mês rendeu R$ 10,10. Isso acontece pois no segundo mês o rendimento é em cima do valor investido (R$ 1.000,00) e do lucro (R$ 10,00).
Bom, acho que com esse exemplo deu pra ver o poder dos juros compostos. A acumulação de riqueza. Que tal então um pouco de matemática?
Vamos supor que você parta de um capital inicial , tenha uma rentabilidade média mensal de e você faça depósitos mensais de . Quanto dinheiro você terá depois de meses?
Vamos lá. No primeiro mês você tinha e fez um depósito de . Seu dinheiro rendeu , ou seja, você tem agora: Para facilitar, vamos chamar o termo de . Então por exemplo, se sua rentabilidade é de 1% ao mês, e .
Substituindo esse valor, ao final do primeiro mês você tem Ótimo. No início do segundo mês você deposita mais e isso vai render mais . No final do segundo mês você terá: Fazendo isso, no final do terceiro mês você terá: Vamos expandir esse termo: Colocando em evidência temos: Aqui já é fácil generalizar para uma quantidade de meses. Ao final de meses você terá: Bom, o primeiro termo da soma é fácil de calcular. O segundo termo não é direto, pois é uma soma de termos. No entanto, os termos dessa soma é uma progressão geométrica de grau com termo inicial também igual a . A soma dos termos de