Introdução a lógica matemática ii

PROFESSOR CASTANHEIRA E−MAIL: [e-mail] EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS Duas proposições, p e q, são ditas equivalentes, em símbolos p ⇔ q, quando possuem tabelas-verdade idênticas (idênticas no sentido de idênticas, exceto talvez pela última entrada da primeira linha). Dizer que duas proposições, p e q, são equivalentes (p ⇔ q), é o mesmo que dizer que elas sempre assumem o mesmo valor lógico, que é o mesmo que dizer que a bicondicional lógica p ↔ q é sempre verdadeira. Cabe notar a diferença entre o significado de p ↔ q e o de p ⇔ q. Para quaisquer duas proposições (não necessariamente com algo em comum), p e q, tem-se que p ↔ q representa uma nova proposição, a saber, a bicondicional lógica de p e q. Por outro lado, p ⇔ q indica que existe uma relação (algo específico em comum) entre as proposições p e q, a saber, p ↔ q é sempre verdadeira As principais equivalências lógicas serão recordadas quando forem necessárias, todavia, as três principais propriedades da relação de equivalência lógica (ela é reflexiva, simétrica e transitiva) serão lembradas e justificadas logo a seguir (onde p, q e r são proposições): i) p ⇔ p (reflexiva). Justificativa: Imediata, uma vez que p ↔ p é sempre verdadeira. ii) Dizer que p ⇔ q é o mesmo que dizer que q ⇔ p (simétrica). Justificativa: Sabemos que (p ↔ q) ↔ (q ↔ p) é sempre verdadeira, donde dizer que p ↔ q é sempre verdadeira é o mesmo que dizer que q ↔ p é sempre verdadeira, isto é, dizer que p ⇔ q é o mesmo que dizer que q ⇔ p. iii) Se p ⇔ r e r ⇔ q, então p ⇔ q (transitiva). Justificativa: Nós sabemos que a condicional lógica ((p ↔ r) ∧ (r ↔ q)) → (p ↔ q) é sempre verdadeira, logo, se p ⇔ r e r ⇔ q, então é sempre verdadeira a conjunção (p ↔ r) ∧ (r ↔ q), logo p ↔ q é sempre verdadeira, isto é, p ⇔ q. IMPLICAÇÕES LÓGICAS Dadas duas proposições, p e q, dizemos que p implica q, em símbolos p ⇒ q, quando a condicional lógica p → q é sempre verdadeira. Cabe notar a diferença entre o significado de p → q e o de p ⇒ q. Para