Indução e recorrências

909 palavras 4 páginas
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Exercícios sobre Indução 1. Demonstre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum

. também será válida.

Logo

é válida para todo

.

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum também será válida.

.

Resolvendo a equação do 2º grau

temos:

Substituindo na igualdade encontrada, tem-se:

Logo

é válida para todo

.

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum

.

também será válida.

Logo

é válida para todo

.

2. Demonstre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum

.

também será válida.

Dividindo o polinômio

pelo polinômio

temos:

Desta forma temos na igualdade anterior:

Logo

é válida para todo

.

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum

.

também será válida.

Dividindo o polinômio

pelo polinômio

temos:

Desta forma temos na igualdade anterior:

Logo

é válida para todo

.

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum

.

também será válida.

Fatorando a expressão Substituindo na igualdade anterior tem-se:

temos:

Logo

é válida para todo

.

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum

.

também será válida.

Dividindo o polinômio

pelo polinômio

temos:

Substituindo na igualdade anterior tem-se:

Logo

é válida para todo

.

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum

.

também será válida.

Resolvendo a equação do 2º grau

temos:

Substituindo na igualdade encontrada, tem-se:

Logo

é válida para todo

.

3. Mostre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum . também será válida.

Logo

é válida para todo

.

Suponhamos que Provaremos que

seja válida para algum . também será válida.

Logo 4. Sejam e

é válida para todo números reais

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