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para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2 \pi i que pode ser escrita como

e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \mathrm{sen}\, b) onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo natural a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral: z^w = e^{w \ln z} para todos os números complexos z e w. Essa exponencial é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach[editar | editar código-fonte]
A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

e^{x + y} = e^x e^y se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)

e^0 = 1 ex é invertível com inverso e-x a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex.
No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

f(t) = e^{t A} onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

f(s + t) = f(s) f(t) f(0) = 1 f'(t) = A f(t)
Mapa exponencial nas álgebras de Lie[editar | editar código-fonte]
O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da