Geometria dos alvéolos

Geometria dos alvéolos

· As abelhas constroem suas “casas” ou favos na forma de recipientes aglomerados de cera que se propagam um ao lado do outro;
· Os recipientes, denominados alvéolos, têm a forma de um prisma hexagonal regular (faces laterais iguais e ângulos entre as faces iguais) aberto numa extremidade e formando um ápice triédrico na outra face.
Em uma colméia, cada indivíduo executa uma função específica e todo trabalho é orientado segundo a lei natural do mínimo esforço e máximo rendimento. No caso das abelhas esta lei é amplamente utilizada, como veremos no exemplo sobre construção dos alvéolos. Em relação à construção de um favo foram selecionadas algumas questões envolvendo sua geometria.
A pavimentação de um plano (mosaico) consiste em cobrilo com uma mesma figura (molde), sem deixar espaços vazios ou tendo figuras interseccionadas. Se quisermos um mosaico formado pela propagação de um só tipo de polígono regular (lados iguais e ângulos internos iguais), devemos escolher tal polígono de modo que seu ângulo interno Θ seja um divisor de
360º (para que haja um encaixe ente os polígonos).

Quadrado Θ=90º Triângulo Eqüilátero Θ=60º Hexágono Θ=120º

Cada alvéolo é projetado de maneira a se encaixar perfeitamente com outros alvéolos paralelos. Em cada extremidade de um ápice triédrico são encaixados 3 outros alvéolos.

Parte de um favo (encaixe de alvéolos).

As abelhas usam cera para construir o favo procurando economizar material para obter o mesmo volume. Considerando um alvéolo (prisma de base hexagonal) como a união de 3 prismas de base losangonal com ângulos internos de 60º e 120º, podemos determinar o ângulo ideal destes prismas de modo que, para um mesmo volume, se gaste uma menor quantidade possível de cera.
Podemos ver que a minimização da quantidade de material