Gauss em pascalzim

Universidade Federal Fluminense

Introdução aos Métodos Numéricos

Trabalho sobre

Método de Gauss – Seidel

Araken Jesse da Silva
Arturo Gómez

Turma 3as e 5as. 16 hs.

Niterói, 17/6/2008

Método de Gauss-Seidel

O método de Gauss Seidel é método iterativo para resolução de equações lineares AX=b. Neste caso, temos:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 : : an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

Supondo aii ≠0 i = 1, … , n

Daí, podemos escrever:

a11 x1 = b1 – ( a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn ) a22 x2 = b2 – ( a21 x1 + a23 x3 + ... + a2n xn ) : : ann xn = bn – ( an1 x1 + an2 x2 + ... + an n-1 xn-1 )

Então:

x1 = [b1 – ( a12 x2 + a12 x3 + … + a1n xn)]/a11 x2 = [b2 – ( a21 x1 + a23 x3 + ... + a2n xn)]/a22 : : xn = [bn – ( an1 x1 + an2 x2 + ... + an n-1 xn-1)]/ann

O sistema fica sob a forma

x = cx + g

0 -a12/a11 -a13/a11 ... –a1n/a11 -a21/a22 0 -a23/a22 ... –a2n/a22 c = : : : : -an1/ann -an2/ann -an3/ann ... 0

b1/a11 b2/a22 g = : : bn/ann

A partir de uma aproximação inicial X(0) calcularemos as seguintes aproximações: X(1), X(2), ... , X(k) . Quando essas aproximações convergem, nos dão a solução do sistema. A diferença do método de Gauss-jacobi, que calcula todas as componentes da k-ésima iteração em função das (k-1)–ésimas é que Gauss- Seidel usa como aproximação as componentes já calculadas da k-ésima iteração. Então o sistema fica como:

x1(k) = 1/a11 ( b1 – a12 x2(k-1) – a13 x3(k-1) - ... - a1n xn(k-1))

x2(k) = 1/a22 ( b2 – a21 x1(k) – a23 x3(k-1) - ... – a2n xn(k-1)) : : xn(k) = 1/ann ( bn – an1