Gabarito p1 fuv 2012 perchine

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

BC0402 - FUV

Prova - 1 (gabarito)
1. Calcule o limite (sem usar a regra de L’Hopital) √ √ 1 + tan x − 1 − tan x lim x→0 sen 2x √ √ √ √ 1 + tan x − 1 − tan x 1 + tan x + 1 − tan x 1 + tan x − 1 + tan x √ lim ·√ = lim √ √ x→0 sen 2x 1 + tan x + 1 − tan x x→0 sen 2x 1 + tan x + 1 − tan x = lim 2 sen x/ cos x 1 1 = lim = √ √ √ √ x→0 2 sen x cos x x→0 2 cos2 x 2 1 + tan x + 1 − tan x 1 + tan x + 1 − tan x

2. Calcule f (2) usando a defini¸˜o de derivada como limite: ca f (x) = x + (x − 2) arctan(x2 + 4) (2 + h) + h arctan (2 + h)2 + 4 − 2 f (2 + h) − f (2) f (2) = lim = lim h→0 h→0 h h = lim 1 + arctan (2 + h)2 + 4 h→0 = 1 + arctan 8

3. Calcule a derivada da fun¸˜o ca y= 1 1 · arccos √x y = (−1) 1−
1 √ x 2 1 ln(arccos √x )

ex2 + 1 1 −3/2 x2 1 2 x (e + 1) − ln arccos √ · ex · 2x 2 x (ex2 + 1)2

· −

4. Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico da fun¸˜o ca a ca √ y = 1 + 3x no ponto de interse¸˜o dele com a reta y = 2. ca √ √ O gr´fico y = 1 + 3x intercepta a reta y = 2 em 1 + 3x = 2, ou seja, em x = 1. Temos: a 3 3 y (x) = √ , y (1) = 4 2 1 + 3x 3 A equa¸ao da reta tangente ´ y = x + b, onde b ´ uma constante cujo valor determinamos c˜ e e 4 da condi¸ao que a reta passa pelo ponto x = 1, y = 2: c˜ 3 5 2= ·1+b =⇒ b= 4 4 3 5 Logo, y = x + 4 4