Gabarito da G1 de Equaçoes diferencias

G1 de Equa¸oes Diferenciais – 2013.2 c˜ MAT 1154
Data: 13 de Setembro de 2013
Nome:
Assinatura:

Matr´ ıcula: Turma:

Dura¸˜o: 1 hora 50 minutos ca Ques.
Valor
Nota

1.a 2.a
3.0 1.0

2.b
1.0

3.a 3b 4.a
1.0 1.0 1.0

4.b
1.0

teste soma
1.0
10.0

Instru¸˜es – leia atentamente co • N˜o ´ permitido usar calculadora. Mantenha o celular desligado. a e
´
• E proibido desgrampear a prova. Prova com folhas faltando ter´ nota zero. a • Verifique, revise e confira cuidadosamente suas respostas.
• Escreva de forma clara, ordenada e leg´ ıvel. • O desenvolvimento de cada quest˜o deve estar a seguir Resposta no lua gar a ele destinado. Desenvolvimentos fora do lugar (p. ex. no meio dos enunciados, nas margens, etc) n˜o ser˜o corrigidos!!. a a

Observa¸˜o ca • Justifique cuidadosamente todas as respostas de forma completa, ordenada e coerente. justificar: Legitimar. Dar raz˜o a. Provar a boa raz˜o do seu procedimento. a a cuidado: Aten¸˜o, cautela, desvelo, zelo. cuidadoso: Quem tem ou denota ca cuidado. fonte: mini-Aur´lio e 1) Encontre a curva y(x) no plano que passa no ponto (1, 1 + e) sabendo que: xy ′ (x) − 2x + y(x) − ex = 0
2)Uma colˆnia de bact´rias aumenta sua popula¸ao a uma taxa proporcional o e c˜ ` quantidade de bact´rias presente em cada instante de tempo,com popula¸ao a e c˜ inicial n(0) = n0 segundo a equa¸ao diferencial: c˜ n′ (t) = kn(t),

k∈R

a)Encontre a solu¸ao geral da equa¸ao diferencial. c˜ c˜
b) Se em 4 horas a popula¸ao triplica, em quanto tempo ela ser´ 27 vezes c˜ a o valor inicial.
3)
a)Determine o conjunto C dos valores de a ∈ R tais que a equa¸˜o diferenca cial y ′′ (t) + 4y(t) = sen(at) possui uma solu¸˜o particular da forma yp (t) = Asen(at). ca b)Encontre a solu¸ao geral da equa¸ao diferencial do item anterior quando c˜ c˜ a ∈ C.
/
4)Considere a equa¸ao diferencial c˜ y 2 senxdx + yf (x)dy = 0.
a)Determine todas as fun¸˜es f (x) que tornam exata a