gaal

1

COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO.
Estudamos no conteúdo anterior o sistema de coordenadas no plano, que estabelece uma bijeção entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Cada ponto do espaço tem coordenadas únicas (a, b, c) em relação aos eixos ( Figura 1). Denotamos o conjunto de todos esses ternos (a, b, c) por ℝ3.
Eixo das cotas

Eixo das abscissas

Eixo das ordenadas

FIGURA 1

Os planos coordenados em ℝ3 são definidos colocando uma das coordenadas igual a zero
(Figura 2). O plano xy consiste nos pontos (a, b, 0) e é definido pela equação z = 0. Analogamente, define o plano yz consistindo nos pontos (0, b, c) e y = 0 define o plano xz consistindo nos pontos (a, 0, c). Os planos coordenados dividem ℝ3 em oito octantes (analogamente aos quatro quadrantes do plano). Cada octante corresponde a uma combinação possível de sinais das coordenadas. Z = 0 define o plano xy

y = 0 define o plano xz

x = 0 define o plano yz

FIGURA 2

Como em duas dimensões, deduzimos a fórmula da distância em ℝ3 do Teorema de
Pitágoras.
A distância |

| entre dois pontos
|

|

√(

)

(
(

)
)

(
(

) é:
)

( )

VETORES NO ℝ3.
Um vetor v do ℝ3 é definido por uma tripla (terno) ordenada (x, y, z) de números reais. Na representação desse vetor no sistema de coordenadas cartesianas fica subentendido que sua origem é a própria origem do sistema e sua extremidade é o ponto (x, y, z), Figura 3. Os números reais x, y e z são chamados de componentes ou coordenadas de v = (x, y, z).

Prof. Júlio Corgozinho

Engenharia

GAAL

2

FIGURA 3 – Vetor no espaço

MÓDULO (MAGNITUDE OU NORMA).
Na figura 3 a magnitude ou módulo do vetor v, denotado |v|, é o comprimento do segmento orientado. Logo, pelo Teorema de Pitágoras:

Em particular, se | ⃗ |

| | √ dizemos que ⃗ é um vetor unitário.

OPERAÇÕES COM VETORES ℝ3.
De modo semelhante ao ℝ2, dois vetores do ℝ3 são ditos iguais se suas respectivas
(