G1 AlgebraLinear Quarta Solu O

Disciplina: Álgebra Linear

Profa. Rute Ferreira

PROVA DE GRAU 1

Data: 04/04/2012

GABARITO
0 0
Questão 1.(3,0 pontos) Dadas as matrizes A =  − 1 − 1 ,


2 1


7
8
 4
,
 − 13 − 12 3 
 0
5 10 


E= 

2 − 2
,
0 −1
− 2 −1 1 


 4

B =  −1


 − 3 − 1
,
1
 2
 4
3 


C= 

D =  − 3 − 1  e


 3

− 2

encontre, se possível:

a) 2A – 5C + BA
0 
 0


−
2
−
2 +

 4
2 


5 
 15


 − 10 − 5  +
 − 20 − 15 



1 
 − 6 − 4   9



=
−
14
−
8
− 2 −1 
 3
2   − 13 − 11


b) E22
4 8 


 0 10 

c) B = 0, pois L3 =

L1
−2

d) A matriz adjunta de D.
− 2 1 


 − 3 − 3

1

Questão 2. Considere o sistema 1
1

1

2 3   x  0 
1 1   y  0 .
⋅
=
1 2   z  0 
    
3 3    0 

a) Coloque a matriz ampliada na forma escalonada.

1
1

1

1

2 3 0 L2 = L1 − L2 1 2
3


→
1 1 0
2
0 1
1 2 0 L3 = L3 − L1 0 − 1 − 1


3 3 0 L4 = L4 − L1 0 1
0

0 L3 = L3 + L2 1
0
0
→

0  L4 = L4 − L2 0


0
0

0
1

0
0
→

0 L4 = L4 + 2 L3 0


0 − 2 0
0

2
1
0

3
2
1

2 3 0
1 2 0
0 1 0

0 0 0

b) Indique o valor de PC e PA.
PA = PC = 3
c) Caso o sistema seja possível, indique GL e encontre a solução.
GL = 3 – 3 = 0
SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO.
Solução: (0,0,0)

x − 2 y − z = a

Questão 3. Determine uma condição para a, b, c para que o sistema − 4 x + 5 y + 2 z = b admita solução.
− 4 x + 7 y + 4 z = c

a  L2 = L2 + 4 L1 1 2 − 1
 1 − 2 −1
− 4 5
0 − 3 − 2
2
b 
→


− 4 7
4
c  L3 = L3 + 4 L1 0 − 1 0 a 1 2 − 1

0 1 0
− 4a − c 

0 0 − 2
− 8a + b − 3c 
PA = PC = 3. Sempre terá solução.

a  L2 ↔ L3 1 2 − 1
4a + b  → 0 1
0
4a + c  L3 = − L3 0 − 3 − 2

a 
− 4a − c 
→
4a + b  L3 = L3 + 3L2

Questão 4. (1,5 pontos) Dados os vetores v1 = (3,−1,2) e v 2 = ( k ,−3,3) .
a) Encontre o valor de k para que os vetores sejam ortogonais.

(3,−1,2) ⋅ (k ,−3,3) = 0

3k + 3 + 6 = 0

k=-3

b) Substitua o valor de k