Função Injetora e Subjetora

90

12.

FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS

12.1 FUNÇÕES INJETORAS
Definição
Dizemos que uma função f: A → B é injetora quando para quaisquer elementos x1 e x2 de A, f(x1) = f(x2) implica x1 = x2 . Em outras palavras, quando x1 ≠ x2 , em A, implica f(x1) ≠ f(x2).

Exemplos
1) Sejam as funções definidas pelos diagramas:

Então, apenas injetora. f e g são funções injetoras. A função h é tal que h (1) = h(2), logo não é

91

2) A função afim f (x) = ax + b com a ≠ 0 , é injetora.
De fato, para todos x1 e x2 em R, temos f(x1) = f(x2) ⇔ ax1 + b = ax2 + b ⇔ ax1 = ax2 ⇔
⇔ ax1 - ax2 = 0 ⇔ a(x1 - x2 ) = 0.
Como a.(x1 - x2 ) = 0, com a ≠ 0 , então (x1 - x2 ) = 0 e portanto x1 = x2 .

3) A função f : R − { } → R − {2} definida por f ( x ) =
1

2x + 1 é injetora. x −1

De fato, dados x1 e x2 em R − { } , temos
1
f(x1) = f(x2) ⇔

2x1 + 1 2x 2 + 1
=
⇔ 2x1x 2 − 2x1 + x 2 − 1 = 2x1x 2 − 2x 2 + x1 − 1 x1 − 1 x2 −1

⇔ 3x 2 = 3x 1 ⇔ x 1 = x 2 .
4) Exploraremos a seguir aspectos mais geométricos da injetividade.
Evidentemente, uma função f: A → B é injetora se, e somente se, para todo b ∈ B, a equação f
(x) = b possui no máximo uma solução a ∈ A. Logo, se A e B são subconjuntos de R, f: A →
B é injetora se, e somente se, para toda reta y = b, b ∈ B, a interseção do gráfico de f com essa reta ocorre em no máximo um ponto. Em vista disto temos:
• Se f e g são funções cujos gráficos são representados por,

Gráfico de f

Gráfico de g

então f não é injetora e g é injetora.
• A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 , ( exemplos de gráficos a seguir) não é injetora. 92

Isto se deve ao fato do seu gráfico ser simétrico em relação à reta x = -b/(2a).

12.2 FUNÇÕES SOBREJETORAS

Dizemos que uma função f: A → B sobrejetora quando para todo y ∈ B, existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y.

Exemplos
1) Considere as funções f, g e h definidas pelos diagramas:

93

As funções f e g são sobrejetoras