Franco brunneti cap. 3 resolvido

Capítulo 3
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Neste capítulo pretende-se, implicitamente, estabelecer a visão euleriana do estudo dos fluidos em movimento. É interessante lembrar que o estudante, acostumado com a visão lagrangeana estabelecida pela Mecânica Geral e pela Física, tem muita dificuldade para focalizar o fluido como um contínuo e observar as suas propriedades em diversos pontos no mesmo instante.
Insiste-se na idéia do regime permanente, já que a eliminação da variável tempo simplifica o estudo e a solução dos problemas e, de certa forma, resolve a maioria dos problemas práticos.
Procura-se fixar as idéias de campos de propriedades e de diagramas de velocidades, típicas do estudo de fluidos. Evita-se propositadamente a denominação “volume de controle”, porém seu conceito está utilizado implicitamente quando se trata de tubo de corrente. O aprofundamento do estudo será feito no Capítulo 10, quando o leitor já tiver uma melhor compreensão do assunto, com as limitações impostas nos primeiros capítulos.
Exercício 3.1 vm =

1 vdA A∫
A

Mostrar claramente a facilidade de se utilizar uma coordenada polar quando se trabalha com seções circulares. Mostrar que a área elementar é calculada por 2πrdr.
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
1R
vm =
∫ v máx ⎢1 − ⎜ R ⎟ ⎥ 2πrdr
⎢ ⎝ ⎠⎥ πR 2 0
⎣
⎦
R ⎛ R2 − r2 ⎞
2v
⎟rdr v m = máx ∫ ⎜
2
⎟
0 ⎜ R2
R
⎝
⎠

(

R

)

2 v máx ⎛ R 2 r 2 r 4 ⎞
⎜
vm =
R r − r dr =
−⎟
4 ∫0
4⎜2
4⎟
R
R
⎝
⎠0
2 v máx ⎛ R 4 R 4 ⎞
⎜
⎟ vm =
−
4 ⎜2
4⎟
R
⎝
⎠ v m = 0,5v máx
2v máx R

2

3

Exercício 3.2

vm =

1 vdA A∫
1

1

R
7
2v r ⎞7
⎛
∫0 v máx ⎜1 − R ⎟ 2πrdr = máx ∫0 (R − r ) rdr
15
⎝
⎠
R7
Mudança de var iável : x = R − r; r = R − x; dr = −dx

1 vm = πR 2

R

2v máx

vm =

15
R7

1 x7 ∫R (R − x )(− dx ) =
0

2v máx
15
R7

R⎛

∫0

1
8⎞
⎜ Rx 7 − x 7 ⎟dx
⎜
⎟
⎝
⎠

R

2v máx

vm =

15
R7

8
15 ⎞
⎛
⎜ 7Rx 7 7 x 7 ⎟
2v
−
⎟ = máx
⎜
15
15 ⎟
⎜8
R7
⎠0