fisica

A função geradora de momentos de X é \(\phi_X(t) = e^{2e^t-2}\) e a de Y é \(\phi_Y(t) = \left(\frac{1}{4}\right)^{10}(3e^t+1)^{10}\). Se X e Y são independentes, calcule:
a) P(X+Y) = 2
Primeiro notemos que \(\phi_X(t)\) pode ser escrita como:
$$
\phi_X(t) = e^{2(e^t-1)} \Rightarrow X \sim Poi(\lambda = 2)
$$
Da mesma forma para a função geradora de momentos de Y:
$$
\phi_Y(t) = \left( \frac{3}{4}e^t + \frac{1}{4} \right)^{10} \Rightarrow Y \sim Bin\left(n=10,p=\frac{3}{4}\right)
$$
Sabendo as distribuições de X e Y, basta aproveitarmos o fato de Y ter um conjunto finito de valores e condicionar as expressões em Y. Assim:
$$
P(X+Y=2) = \sum_{i=0}^{10} P(X+Y=2|Y=i)P(Y=i)
$$
Mas isto não faz sentido para qualquer \(i \gt 2\) e portanto:
$$
P(X+Y=2) = \sum_{i=0}^{2} P(X+Y=2|Y=i)P(Y=i)
$$
Agora o item se resume a contas:
$$
\begin{eqnarray*}
P(Y=0) &=& {10 \choose 0} \left(\frac{3}{4}\right)^0 \left(\frac{1}{4}\right)^{10} = 9.5367 \times 10^{-7} \\
P(Y=1) &=& {10 \choose 1} \left(\frac{3}{4}\right)^1 \left(\frac{1}{4}\right)^9 = 2.6810 \times 10^{-5} \\
P(Y=2) &=& {10 \choose 2} \left(\frac{3}{4}\right)^2 \left(\frac{1}{4}\right
)^8 = 0.0004
\end{eqnarray*}
$$
$$
\begin{eqnarray*}
P(X+Y=2|Y=0) &=& P(X=2) = \frac{e^{-2}2^2}{2!} = 0.2707 \\
P(X+Y=2|Y=1) &=& P(X=1) = \frac{e^{-2}2^1}{1!} = 0.2707 \\
P(X+Y=2|Y=2) &=& P(X=0) = \frac{e^{-2}2^0}{0!} = 0.1353 \\
\end{eqnarray*}
$$
Assim:
$$
P(X+Y=2) = 6.0274 \times 10^{-5}
$$
b) P(XY = 0)
Novamente basta condicionar em Y:
$$
P(XY=0) = \sum_{i=0}^{10} P(XY=0|Y=i)P(Y=i)
$$
Os valores de \(P(Y=i)\) são facilmente calculados, enquanto para calcular as probabilidades condicionais, basta notarmos que no primeiro caso, quando Y=0, podemos ter qualquer valor de X, e nos outros seguintes, quando \(Y\neq 0\), X obrigatoriamente tem de ser zero. Dessa forma:
$$
P(XY=0|Y=0) = 1
$$
e
$$
P(XY=0|Y=i) = P(X=0), \qquad i = 1,\ldots,10
$$
Assim:
$$
\begin{eqnarray*}
P(XY=0) &=& P(Y=0) +