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Disciplina: CCE0115 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 4: Integral Definida (recordando)
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎

onde:




Se

Se

a é o limite inferior de integração; b é o limite superior de integração; f(x) é o integrando.

representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para

representa a área entre as curvas, para

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Tabela de Algumas Integrais Indefinidas

Exemplos:

Técnicas de Integração – Integração por Partes
Se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis, então pela regra do produto:

Integrando ambos os lados:

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Se u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis, então:

Esta fórmula expressa a integral ∫ 𝑢 𝑑𝑣 em função de outra integral, ∫ 𝑣 𝑑𝑢. Escolhendo adequadamente u e dv pode ser mais fácil calcular a 2ª do que a 1ª integral. Quando escolhemos as substituições para u e para dv, em geral pretendemos que dv seja o fator do integrando mais complicado que se sabia integrar.
Exemplos:

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Integrais Múltiplas
Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o volume de funções multidimensionais, como, por exemplo, no retângulo.

Integrais Duplas Sobre Retângulos
Começamos nosso estudo de integrais duplas abordando o tipo mais simples de região plana: um retângulo

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Integrais Duplas Como Volume

Observação:
Em matemática, uma soma de Riemann é um método para aproximação da área total inferior à curva em um gráfico, de outro modo conhecida como uma integral.

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Teorema de Fubini (primeira forma) para o Cálculo de Integrais Duplas

Exemplo1:

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Exemplo 2: