Filtro De Kalman Iniciantes

Filtro de Kalman
Teoria e Aplicação para Iniciantes

Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano

M&V Consultoria e Treinamento www.mudancasabruptas.com.br 1

A História da Filtragem de Sinais

1930
Filtro de Wiener
(contínuo)

1940
Filtro de Kolmogorov
(discreto)

1960
Filtro de Kalman
(linear e estendido)

Processos Estocásticos
Sinal no tempo

Estatística
(variável
aleatória)

O que caracteriza um sinal?
•Média
•Desvio Padrão ( volatilidade )

Probabilidade

Sinal com baixa volatilidade

Sinal com alta volatilidade

Resolvendo Sistema Linear
Observar o seguinte sistema linear:

5 x1  2 x2  4

 2 x1  x2  1
Para resolver seguem-se duas maneiras diferentes:
(1) Isolar x1 da primeira equação e substituir na segunda.
(2) Transformar o sistema em matrizes e vetores.

5 x1  2 x2  4

 2 x1  x2  1

Primeira Resolução

(a) Isolando x1 na primeira equação:

x1 

4  2 x2
5

(b) Substituindo na segunda equação:
 4  2 x2 
2
  x2  1
 5 

8  4 x2  5 x2  5

 9 x 2  3

x2 

1
3

(c) Substituindo x2 em x1 isolado em (a):

Solução:

x1 

2
3

x2 

1
3

x1 

2
3

5 x1  2 x2  4

 2 x1  x2  1

Segunda Resolução

(a) Transformar o sistema em representação matricial:

 5 2  x1   4 

    
2

1

 x2   1 

A

B

(b) Resolve-se agora o sistema : AX = B

(c) A solução deve envolver a inversa da matriz A, ou seja, A-1

A1 AX  A1B
(d) Como A-1.A é matriz identidade a solução será: X = A-1B
(e) No matlab basta :

x = inv(A)*B

No Matlab

B tem que ser transposto! Ou B = [ 4 ; 1]

Problema com dimensão de matrizes
Resolver sistema linear com mesmo número de linhas e colunas é fácil usando matlab. Mas quando se tem MAIS equação que incógnita a inversa da matriz não é possível.

 2 x1  x2  1

3x1  2 x2  2
 x x 3
 1 2

3 equações
2 incógnitas (x1,x2)

????

Método dos Mínimos Quadrados
A solução para o problema anterior é encontrar o vetor x mais próximo possível tal que o sistema AX = B seja o mais verdadeiro