Estudo de Integrais ufscar

Aula 16
Integra»~o por partes ca H¶ essencialmente dois m¶todos empregados no c¶lculo de integrais inde¯nidas (primia e a tivas) de fun»~es elementares. Um deles ¶ a integra»~o por substitui»~o, explorada na co e ca ca aula 15, que retomaremos adiante, em novos casos. O outro m¶todo ¶ chamado de e e integra»~o por partes, que exploraremos nesta aula. ca Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~o duas fun»oes deriv¶veis em um certo a c~ a intervalo I ½ R. Ent~o, para cada x em I, temos a [u(x) ¢ v(x)]0 = u0 (x) ¢ v(x) + u(x) ¢ v 0 (x)
Z

Assim sendo,

ou seja,

Z

[u0 (x)v(x) + u(x)v0 (x)] dx = u(x)v(x) + C
Z

0

v(x)u (x) dx +

u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) + C

Podemos escrever ainda
Z
Z
0
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) ¡ v(x)u0 (x) dx

(16.1)

aqui considerando que a constante gen¶rica C j¶ est¶ impl¶ e a a
³cita na ultima integral.
¶
Sendo u = u(x) e v = v(x), temos du = u0 (x) dx e dv = v0 (x) dx, e passamos a f¶rmula 16.1 µ forma abreviada o a
Z

Z u ¢ dv = u ¢ v ¡

v ¢ du

As f¶rmulas 16.1 e 16.2 s~o chamadas f¶rmulas de integra»~o por partes. o a o ca

138

(16.2)

Integracao por partes
»~
Exemplo 16.1 Calcular

R

139

x sen x dx.

Solu»~o. Tomaremos u = x, e dv = sen x dx. ca R
Teremos du = 1 dx = dx, e v = sen x dx.
Para os prop¶sitos da integra»~o por partes, basta tomar v = ¡ cos x, menospreo ca R zando a constante arbitr¶ria da integral v = sen x dx, pois uma tal escolha da fun»~o a ca v ¶ su¯ciente para validar a f¶rmula 16.2. e o
Temos ent~o a Z

Z x sen x dx =

u ¢ dv
Z
= u ¢ v ¡ v ¢ du
Z
= x ¢ (¡ cos x) ¡ (¡ cos x) dx
Z
= ¡x cos x + cos x dx

= ¡x cos x + sen x + C
Exemplo 16.2 Calcular

R

x ln x dx.

Solu»~o. Tomamos u = ln x, e dv = x dx. ca R
1
x2
Teremos du = dx, e v = x dx. Tomamos v = . x 2
Temos ent~o a Z
Z
x ln x dx = u ¢ dv
Z
= u ¢ v ¡ v ¢ du
Z 2 x2 x 1
=
¢ ln x ¡
¢ dx
2
2 x
Z
x2 x =
¢ ln x ¡ dx 2
2
x2