Estimadores

Estimadores Não Viesados 4
Matérias: Estatística, Estimadores, Inferência Estatística Nível de dificuldade: Médio Fonte: MAE0311-L1 Palavras-chave: distribuição uniforme, EQM, erro quadrático médio | 0 comentário
Seja X 1 ,…,X n uma amostra aleatória de tamanho n da distribuição de uma variável aleatória X∼U(0,θ) . Considere os estimadores θ ˆ 1 =c 1 X − − e θ ˆ 2 =c 2 X (n) .
a) Encontre c 1 e c 2 que tornam os estimadores não viciados.
No primeiro caso temos:
E(θ ˆ 1 )=E(c 1 X − − )=c 1 E(X − − )=c 1 θ 2
Como queremos que E(θ ˆ 1 )=θ , fazemos: c 1 θ 2 =θ⇒c 1 =2
No segundo, precisamos em primeiro lugar encontrar a esperança de X (n) :
F X (n) (y) = = = P(X ( n)≤y)=P(max(X 1 ,…,X n )) P(X 1 ≤y)…P(X n ≤y) x n θ n ⇒f X (n) (y)=nx n−1 θ n
Então:
E(X (n) )=∫ θ 0 xnx n−1 θ n dx=n θ n ∫ θ 0 x n dx=n n+1 θ=n n+1 θ
Como queremos E(θ ˆ 2 )=θ : c 2 n n+1 θ=θ⇒c 2 =n+1 n
b) Encontre e compare os EQMs dos dois estimadores.
EQM(θ ˆ 1 ) = = Var(θ ˆ 1 )+B 2 (θ ˆ 1 )=Var(2X − − )+(E(θ ˆ 1 )–θ) 2 θ 2 3n +0=θ 2 3n
Como não temos de imediato como acima, vamos encontrar então Var(θ ˆ 2 ) . Em primeiro lugar, encontremos Var(X (n) ) , pois a variância que queremos depende dela:
Var(X (n) )=E(X 2 (n) )–E 2 (X (n) )
Como já obtivemos E(X (n) ) acima, precisamos apenas encontrar E(X 2 (n) ) :
E(X 2 (n) )=∫ θ 0 x 2 nx n−1 θ n dx=n θ n ∫ θ 0 x n+1 dx=n n+2 θ 2
Assim:
Var(X (n) )=n n+2 θ 2 –(n n+1 θ) 2 =θ 2 (n n+2 –n 2 (n+1) 2 )
Calculando então Var(θ ˆ 2 ) :
Var(θ ˆ 2 ) = = = Var(n+1 n X (n) )=(n+1 n ) 2 Var(X (n) ) (n+1 n ) 2 θ 2 (n n+2 –n 2 (n+1) 2 ) θ 2 (n 2 +2n+1 n 2 +2n –1)=EQM(θ 2 ˆ )
Na Figura abaixo temos o gráfico da constante multiplicando θ para os dois EQMs de acordo com o tamanho da amostra n . Fica claro que o erro quadrático médio do segundo estimador é sempre menor ou igual (com menor ou igual substituido por estritamente menor para qualquer n>1) que o erro quadrático médio do primeiro estimador. Logo o estimador θ ˆ 2 é um melhor estimador