estação de tratamento

S´ries – 6. S´ries de Potˆncias e e e Luiza Amalia Pinto Cant˜o a Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP [e-mail] S´ries de Potˆncias e e
Forma: Uma s´rie de potˆncias ´ uma s´rie da forma: e e e e
∞

cn xn = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · ·

(1)

n=0

onde x ´ uma vari´vel e cn’s s˜o constantes chamadas coeficientes da e a a s´rie. e S´rie Geom´trica: Tomemos cn = 1, ∀n e e
∞

xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · n=0 • Converge quando −1 < x < 1, ou seja, |x| < 1. Neste caso:
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · ·
1−x
• Diverge quando |x| ≥ 1.

a=1

e

r = x = |x| < 1

S´ries de Potˆncias: Defini¸˜o e e ca Defini¸˜o: A s´rie da forma ca e
∞

cn xn = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · · + cn xn + · · · n=0 ´ uma s´rie de potˆncias centrada em x = 0. E a s´rie da forma: e e e e
∞

cn(x−a)n = c0 +c1(x−a)+c2(x−a)2 +c3(x−a)3 +· · ·+cn(x−a)n +· · · n=0 ´ denominada s´rie de potˆncias centrada em a (ou ainda, ao redor de e e e a).
Exemplos: Para quais valores de x as s´ries abaixo s˜o convergentes ? e a
∞

∞

n!xn

1. n=0 2. n=0 (x − 3) n n

S´rie de Potˆncias: Uma Aplica¸˜o e e ca Motiva¸˜o: Fornece uma maneira de representar, de maneira polinomial, ca fun¸˜es que aparecem na matem´tica, f´ co a ısica e qu´ ımica. Exemplo (3): Encontre o dom´ da fun¸˜o de Bessel de ordem 0 definida ınio ca por: ∞
(−1)nx2n
J0(x) =
22n(n!)2
n=0
Ilustra¸˜o Gr´fica: Soma parcial da fun¸˜o de Bessel J0 e a fun¸˜o J0(x). ca a ca ca

S´reis de Potˆncia: Teorema e e
∞

cn(x − a)n existem trˆs possibilidades: e Teorema: Dada s´rie de potˆncia e e n=0 1. A s´rie converge apenas quando x = a; e 2. A s´rie converge para todo x; e 3. Existe um n´mero positivo R (conhecido como raio de convergˆncia) u e tal que a s´rie converge se |x − a| < R e diverge se |x − a| > R. e Extremo de Intervalo: Para o caso (3) existem 4