Escalonamento

Resolução de sistemas lineares
J. M. Martínez

A. Friedlander

1 Alguns exemplos
Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares:

3x + 2y = x − 2y =

5
−1

(1)

0.45x1 − 2x2 + 6x3 − x4 = 10 x2 − x5 = 0
−w + 4α + z =
−w + 5β + z = w + 4β + z =
−w + 2β + α = w+α+β+z =

4
0.42
0.6
0.7
10

0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 = 1 x+y+z+w y+z+w z+w w

=
=
=
=

x= 6 x= 5

8
6
4
2

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Vemos que um sistema linear consiste em um conjunto de equações, com um conjunto de incógnitas ou variáveis. As variáveis aparecem multiplicadas por um coeciente (que pode ser 1), e o termo variável-coeciente aparece somado a outros termos do mesmo tipo. Por exemplo os seguintes sistemas de equações não são lineares: x2 + 2y = 5 x−y = 0

(7)

xy = 1 x+y = 2

(8)

2 Matriz e Termo Independente
Um sistema linear com m equações e n variáveis (x1 , . . . , xn ) pode ser escrito como

a11 x1 + . . . + a1n xn =
.
.
.
am1 x1 + . . . + amn xn =

b1
(9)

bm

O retángulo de números



 a11 . . . a1n


.
.


.
am1 . . . amn se chama Matriz do Sistema. O vetor (b1 , . . . , bm ), se chama Termo Independente.
No sistema (1) temos:
Matriz =
3 2
1 −2 e termo independente = (5, −1).
Em (2) : Matriz =

.45
0

−2 6
1 0

−1
0

0
−1

e termo independente = (10, 0).
Em (3), ordenando as variáveis na

−1
 −1

 1

 −1
1

forma (w, α, z, β) temos : Matriz =

4 1 0
0 1 5 

0 1 4 

1 0 2 
1 1 1

e termo independente = (4, 0.42, 0.6, 0.7, 10).
Em (4), a matriz é:

(0 0 0 0)

e o termo independente =(1).
Em (5): Matriz =



1
 0

 0
0

1
1
0
0

1
1
1
0
2


1
1 

1 
1

e termo independente = (8, 6, 4, 2).
Em (6) a matriz é

1
1

e termo independente = (6, 5).

3 Soluções de um Sistema Linear
Quando um vetor (x1 , . . . , xn ) satisfaz todas as equações de (9), dizemos que (x1 , . . . , xn )