Equações Diferenciais

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

AP2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – 02/06/2013 - SOLUÇÕES
Questão 1 [2,5 pontos]
a) [1,25 ponto] Aplicando a fórmula de Abel, calcule o wronskiano de duas soluções quaisquer, y1 e y2 , da equação diferencial x d2 y dy
+
+ xy = 0 em (0, +∞). dx2 dx

b) [1,25 ponto] Suponha agora que y1 e y2 são soluções da equação do item
(a) que satisfazem y1 (1) = 1, y1 (1) = 2 y2 (1) = −1, y2 (1) = 2·
Calcule W [y1 (x), y2 (x)] .
Solução:
a) De acordo com a fórmula de Abel, se y1 e y2 são soluções da equação d2 y dy x2 2 +
+ xy = 0 em (0, +∞), então dx dx
W [y1 (x), y2 (x)] = c e− onde, neste caso, p(x) =

p(x) dx

,

1
, depois de escrever a equação na forma normal. x Assim,

c
.
x
Obs: Lembre que a constante c varia de acordo com as soluções consideradas. Para cada par de soluções temos uma constante particular.
W [y1 (x), y2 (x)] = c e−

1/(x) dx

=

b) Por exemplo, calculemos o wronskiano das duas soluções y1 e y2 da equação xy + y + xy = 0 que satisfazem às condições y1 (1) = 1, y1(1) = 2, y2 (1) =
−1, y2 (1) = 2.
1

Temos, utilizando a definição de W [y1 (x), y2 (x)] por meio de um determinante, que pode ser calculado diretamente no ponto x0 = 1:
W [y1(1), y2 (1)] = det

y1 (1) y2 (1) y1 (1) y2 (1)

= det

1 −1
2 2

=4

Pela fórmula de Abel, W [y1 (1), y2(1)] = c/1
Portanto c/1 = 4, e então c = 4.
Daí, o Wronskiano das soluções y1 e y2 da equação xy + y + xy = 0 que satisfazem às condições y1 (1) = 1, y1(1) = 2, y2 (1) =
−1, y2 (1) = 2. é
W [y1(x), y2 (x)] =

4
.
x

Questão 2 [2,5 pontos]
Verifique que yh = c1 x + c2 x ln x é uma solução geral da equação homogênea associada a x2 y − xy + y = x(x + 1), x ∈ (0, +∞). A seguir, calcule uma solução particular da equação não-homogênea.
Solução:
Para provar que yh = c1 x + c2 x ln x é uma solução