Equa Es Diferenciais II EDP1

10: Equações Diferenciais Parciais(EDP's)
Uma EDP é uma equação envolvendo duas ou mais variáveis independentes x, y,z,t,... e derivadas parciais de uma função (variável dependente) u=u(x,y,z,t,....).

∂u
∂ u ∂ 2u
∂ 2u
∂ ku
F ( x1 , x2 , x3 ,..., xn , u,
,...,
, 1 ,...,
,..., k ) = 0
∂ x1
∂ xn ∂ x1
∂ x1∂ xn
∂ xn

Exemplos:

a) xu x − yu y = sen( xy )
b) ∂ tt u − ∂ xxu + sen(u ) = 0
2
∂u
∂
u
c)
=α 2 2
∂t
∂x
2
d) utt = c ∆ u
e)

∆u= 0

Classificação das EDP's
A ordem de uma EDP é dada pela derivada parcial de maior ordem que ocorre na equação.
Uma EDP é dita linear se é de primeiro grau em um e em todas as suas derivadas parciais que ocorrem na equação, caso contrário é dita não linear.
Exemplos
a)

xu x − yu y=sen ( xy ) ,

Ordem

1,

Linear ;

b)

∂ tt u−∂ xx u +sen ( u )=0,

Ordem

2,

Não−linear ;

Ordem

2,

Linear ;

Ordem

2,

Linear ;

c)
d)
e)

2
∂u
2∂ u
=α
,
2
∂t
∂x
u tt=c 2 Δu ,

Δu= f ( x ) ,

Ordem

2,

Linear .

Condições de Contorno
Em EDP's, o espaço das variáveis independentes é multidimensional: procuramos soluções definidas em um aberto Ω . É natural substituir os extremos do intervalo (caso n=1) pelo bordo, ∂ Ω , da região Ω.
Quando impomos condições sobre o valor da solução e de suas derivadas no bordo da região temos um problema de valores de contorno ou, simplesmente, problema de contorno.
Encontramos muitas vezes condições do tipo
∂u
α u ( x) + β
( x) = f ( x), x ∈ ∂ Ω
∂n
∂u é a onde α e β são constantes dadas, f é uma função dada em ∂ Ω e derivada de u na direção normal a ∂ Ω .
∂n
No caso β = 0, a condição é conhecida como Condição de Dirichlet;
No caso α = 0, temos uma Condição de Neumann.

Condições Iniciais
Em EDP's temos mais de uma variável independente (por exemplo x e t), quando fixamos uma das variáveis (por exemplo t=0) e impor o valor da solução e de suas derivadas parciais em relação à variável fixa como função das outras variáveis. O problema correspondente é um Problema de Cauchy ou de Valor Inicial.
Por exemplo: onde f e g