Engenheira de produção

Resolução questão 1:

y = xy` + 2y`2 y`= p y= xy`+ 2y`2 y = xp + 2p2 dy = xpd + pdx - 4pdp pdx = xdp + pdx - 4pdp
(x + 2p) dp = 0 dp = 0 ou
(x - 4) = 0

Se dp = o, temos que p = C
Se (x - 4p) = 0, temos que x = 4p ou p = x/4

Solução Geral: y = Cx - 2C2
Solução singular: y = x/4.x – 2 (x/4)2 ou y=x2/8

Resolução questão 2:

y``` = x2 + e2x + 1/(x2-1) y``` = x2 + e2x + 1/(x-1).(x+1)

y`` = ⌠(x2dx + 1/(x-1).(x+1) dx y`` = ⌠x2dx + ⌠e2xdx + ⌠1/(x-1).(x+1) dx y`` = ⌠x2dx + ⌠e2xdx + ½ ⌠1/(x-1) dx – ½ ⌠1/(x+1) dx y`` = x3/3 + e2x/2 + ½ ln lx - 1l – ½ ln lx + 1l + C

y`= 1/3⌠x3 dx + ½ ⌠e2xdx + ½ ln lx - 1l dx – ½ ½ ln lx + 1l + ⌠Cdx y`= 1/3 . x4/4 + ½ e2x/2 + ½ ((x-1) ln lx - 1l - lx - 1l) – ½ ((x + 1) ln lx + 1l - lx + 1l) + Cx + D y` = x4/12 + e2x/4 + ½ . ((x-1) ln lx - 1l) – ½ . ½ - ½ ((x + 1) ln lx + 1l) + ½ . ½ + Cx + D y`= x4/12 + e2x/4 + ½ u1 ln u1 – ½ u2 ln u2 + Cx + D

y = 1/12 ⌠x4dx + ¼ ⌠e2xdx + ½ ⌠u1 ln u1 du1 – ½ ⌠ u2 ln u2 du2 + C ⌠xdx + D⌠dx

y = 1/12 (x5/5 + ¼ e2x/2) + ½ [- u12/22 + 1/2 u12 ln u1 – 1] - ½ (-u22/22 +1/2 u22lnu2) + C x2/2 + Dx + E

y = x5/60 + e2x/8 –u12/8 + u12 ln u1/4 + u22/8 – u22 ln u2/4 + C x2/2 + Dx + E

y = x5/60 + e2x/8 –(x – 1)2/8 + (x – 1)2 ln (x – 1)/4 + (x + 1)2/8 – (x + 1)2 ln (x + 1)/4 + C x2/2 + Dx + E

y = x5/60 + e2x/8 + (-x2ln(x+1) + 2x + (x -2).ln(x -1) – 2x ln(x + 1) + ln (1-x) + ln (1 – x) – ln (1 + x) / 4)

y = x5/60 + e2x/8 - (-x2 + 2x +1) ln(x + 1)/4 + (x2 - 2x) ln(x + 1)/4 + ln (1 – x)/4 + Fx2 + Gx + E

Resolução questão 3:

Raízes: -2, -2, 0, 1+- 1i)
(D – (1+i)) . (D – (1-i))
(D – 1 – i) . (D – 1 + i)
D2 – D + Di – D +1 – i – Di + i – i2
D2 – 2D + 1 + 1
D2 – 2D + 2

Equacao diferencial:

(D + 2)2 . (D – 0) . (D2 – 2D + 2) y = 0

D (D2 + 4D + 4) . (D2 – 2D + 2) y = 0
(D3 + 4D2 + 4D) . (D2 – 2D + 2) y = 0
(D5 + 2D42 - 2D3 + 8D) y = 0 y(5) + 2y(4) – 2y’’’ + 8y’ = 0

Resolução questão 4:
a) (D3 - 19D – 30) y = 0

| D3 | D2 | D1 | D0 | 5 | 1