Engenharia civil

Funções de duas variáveis

O texto aqui apresentado é um resumo feito do livro CÁLCULO, Volume II, de James Stewart.

Definição: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D um único valor real denotado por f(x, y). O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f, ou seja, [pic].

Notação: z = f (x, y); x e y são variáveis independentes e z é variável dependente.

Exemplos: 1. A temperatura T num ponto da superfície da Terra em qualquer instante de tempo depende da longitude x e da latitude y do ponto. Podemos pensar em T como uma função de duas variáveis x e y, ou como uma função do par (x, y). Indicamos essa dependência funcional escrevendo T = f (x, y).

2. O volume V de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura h. De fato, sabemos que [pic]. Podemos dizer que V é uma função de r e de h, e escrevemos V (r, h) = [pic].

Gráficos de funções de duas variáveis

Definição: Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R3 tal que z =f (x, y) e (x, y) pertencem a D.

Obs. Assim como gráfico de uma função de uma variável é uma curva C com equação y = f (x), o gráfico de uma função com duas variáveis é uma superfície S com equação z = f (x, y). Podemos enxergar a superfície S de f como estando diretamente em cima ou abaixo de seu domínio D que está no plano xy.
[pic]
Exemplo: Esboce o gráfico da função [pic].
O gráfico de f tem equação [pic] ou [pic], que representa um plano. A porção do gráfico que pertence ao primeiro octante está desenhada na figura abaixo.

[pic]

A função desse exemplo é um caso especial da função [pic]. O gráfico de uma função que tem equação [pic] é um plano.
Curvas de Nível

Definição: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equação f (x, y) = k, onde k é uma