Economia

LISTA DE EXERC´
ICIOS

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C´lculo I a Crescimento e decrescimento de fun¸˜es, m´ximos e m´ co a ınimos globais, m´ximos e a m´ ınimos locais, o teorema de Weierstrass, a regra de Fermat e problemas de otimiza¸˜o ca [01] Para cada caso abaixo, determine os intervalos onde a fun¸˜o ´ crescente e os intervalos onde a ca e fun¸ao ´ decrescente. c˜ e
(a) f (x) = x +

3
,
x2

(b) g(t) =

3 t2 + 4 t
,
1 + t2

(c) F (u) =

u2 − u + 1
.
2 (u − 1)

[02] A fun¸˜o y = f (x) = x3 − 3 x2 possui extremos globais no conjunto A = [−1, 3]? Em caso ca afirmativo, calcule estes extremos.
[03] A fun¸ao y = f (x) = 2 cos(x) + sen(2 x) possui extremos globais no conjunto A = [0, 4 π]? Em c˜ caso afirmativo, calcule estes extremos.
[04] A fun¸˜o y = f (x) = x5 /5 − x3 /3 + 2 possui extremos globais no conjunto A = [−2, 2]? Em caso ca afirmativo, calcule estes extremos.
[05] (Um outro teorema de globalidade) Seja f uma fun¸˜o de classe C 1 e A um intervalo aberto ca (n˜o necessariamente limitado). Suponha que f possua um unico ponto cr´ a ´ ıtico p em A que ´ e m´ ınimo local. Mostre que p ´ m´ e ınimo global de f em A. Analogamente, se f possui um unico
´
ponto cr´ ıtico p em A que ´ m´ximo local, ent˜o p ´ m´ximo global de f em A. e a a e a
[06] Mostre que f (x) = ln(x)/x tem m´ximo absoluto em x = e. Conclua que π e < eπ . Dica: use o a exerc´ [05]. ıcio [07] Mostre que x + 1/x ≥ 2 para todo x > 0. Dica: use o exerc´ [05]. ıcio [08] Verdadeiro ou falso? Se A ´ um conjunto fechado e limitado e f ´ uma fun¸˜o descont´ e e ca ınua em A, ent˜o f n˜o possui extremos globais em A. Justifique a sua resposta! a a
[09] Verdadeiro ou falso? Seja f : R → R uma fun¸ao cont´ c˜ ınua. Se A n˜o ´ um conjunto fechado, a e ent˜o f n˜o possui extremos globais em A. Justifique a sua resposta! a a
[10] Mostre que se p ∈ A ´ ponto de m´ e ınimo global de f em A, ent˜o p ´ ponto de m´ximo global a e a de −f em A.