economia

UNIVERSIDADE DO ALGARVE – ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

EXERCÍCIOS DE
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
(sistemas de equações lineares e outros exercícios)

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

1. Exercícios sobre sistemas:
Exercício1: Uma empresa que presta serviços de engenharia civil tem três tipos de contentores I, II, e III, que carregam cargas, em três tipos de recipientes A, B e C. O número de recipientes por contentor é dado pelo quadro:
Tipo de recipiente

A

B

C

I

4

3

4

II

4

2

3

III

2

2

2

Quantos contentores x1 , x2 e x3 de cada tipo I, II e III, são necessário se a empresa necessita transportar 38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C?
Resolução: Este problema pode ser resolvido por meio do seguinte sistema de equações lineares

4 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 38
3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 24 .
4 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 32
Comecemos por classificá-lo, como
4 4 2
A= 3 2 2
4 3 2

| A |= 2 ≠ 0 ,

o sistema diz-se de Cramer e, como tal, é possível e determinado.
Vamos aplicar o método de Gauss para o resolver, a condensação da matriz ampliada pode ser
4 4 2 38

2 4 4 38

1

2

2 19

1

2

2 19

[ A | B] = 3 2 2 24 ↔ 2 2 3 24 ↔ 0 −2 −1 −14 ↔ 0 −1 −2 −14 = [C | D ] .
4 3 2 32
2 3 4 32
0 −1 0 −6
0 0 −1 −6

Devemos ter em atenção que nesta condensação trocámos algumas colunas, portanto, como cada uma destas corresponde a uma variável, mudámos a posição das mesmas. No primeiro passo, as colunas 1 e 3 trocaram, ou seja, a variável x3 passou a estar na 1ª coluna e a variável x1 passou a estar na 3ª coluna; no quarto passo a 2ª coluna trocou com a 3ª passando a variável x1 para a 2ª coluna e a variável x2 passou a estar na 3ª coluna. Por isso, quando se utiliza o método de Gauss para a resolução de sistema de equações lineares é mais directo condensar a matriz por linhas.
Qualquer troca de colunas deve ser registada porque é