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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´
IBA
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CENTRO DE CIENCIAS APLICADAS E EDUCACAO
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS
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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PER´
IODO: 2007.2
PROFESSOR: GIVALDO DE LIMA
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INTEGRAIS IMPROPRIAS
Chamamos de Integrais Impr´prias as integrais cujos limites de integra¸˜o n˜o s˜o n´meros reais, ou o ca a a u cujos integrandos apresentam descontinuidades.
Integrais com Limites de Integra¸˜o Infinitos: ca Seja f uma fun¸˜o real cont´ ca ınua e n˜o-negativa em um intervalo infinito [a, +∞), tal que lim f (x) = 0. a x→+∞

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y = f (x)

x=a

x=t

• Se t > a, ent˜o a ´rea sob o gr´fico de f, de a at´ t, ser´ dada por: a a a e a t t ´
Area = a f (x)dx ⇒ A(t) = a f (x)dx
• Se lim A(t) existe, ent˜o a ´rea da regi˜o sob o gr´fico de f ser´ dada por a a a a a t→+∞

+∞ f (x)dx a .

• Se lim A(t) = +∞, n˜o podemos atribuir uma ´rea a essa regi˜o. a a a t→+∞

Em resumo, temos que: t • Se f ´ cont´ e ınua em [a, +∞), ent˜o a +∞ f (x)dx a = lim

• Se f ´ cont´ e ınua em (−∞, a], ent˜o a a
−∞ f (x)dx

= lim

t→+∞ a

f (x)dx , desde que o limite exista.

a t→−∞ t

f (x)dx , desde que o limite exista.

Exemplos: Determine se a integral converge ou diverge:
a)

+∞ dx
1
x3

Sabemos que

+∞ dx
1
x3

converge para 1 .
2
b)

t

= lim

t→+∞ 1

x−3 dx = lim ( t→+∞ +∞ dx
0
1+x2

x−2
)
−2

t
1