Diagrams de minkowski

Dilatação do tempo e contracção do espaço

Diagramas de Minkowski: dilatação do tempo e contracção do espaço
Consideremos a transformação de Lorentz
⎡c t ⎤
⎢ x ⎥ =γ
⎣ ⎦

⎡ 1
⎢−β
⎣

− β ⎤ ⎡c t ⎤
, γ =
1 ⎥⎢ x ⎥
⎦⎣ ⎦

1
1− β 2

, β=

v c em que
⎧ e 0 = γ ( e0 + β e1 )
⎪
.
⎨
⎪ e 1 = γ ( e1 + β e0 )
⎩
Admitindo uma métrica indefinida negativa com

e0 2 = e 0 2 = −e12 = −e 1 2 = 1

infere-se então que

e0 ⋅ e 0 = −e1 ⋅ e 1 = γ
.
e0 ⋅ e 1 = −e1 ⋅ e 0 = γ β

Cada acontecimento A do espaço-tempo de Minkowski é então representado: (i) por
A ( c t , x ) no referencial de inércia S ; (ii) por A ( c t , x ) no referencial de inércia S .

Considera-se, sempre, y = y , z = z , e 2 = e 2 e e3 = e 3 .

1

Dilatação do tempo e contracção do espaço

Num diagrama de Minkowski o eixo c t corresponde á recta x = 0 . Logo, da equação x = γ (x − β ct)

infere-se que o eixo c t será dado pela equação

X cT x = β c t ∴ tan θ =

x
=β . ct x

θ cT ct

Analogamente, o eixo x corresponde à recta c t = 0 . Logo, da equação c t = γ (c t − β x)

obtém-se para o eixo x a equação

cT c t = β x ∴ tan θ =

ct
=β . x X ct θ x 2

X

Dilatação do tempo e contracção do espaço

Dilatação do tempo

Comecemos por analisar a dilatação do tempo através de um diagrama de Minkowski.
Consideremos, em primeiro lugar, um relógio colocado no ponto x = 0 do referencial
S que mede um intervalo de tempo T0 . Do ponto de vista do diagrama de Minkowski (Fig. 1) trata-se, portanto, de medir o intervalo do tipo tempo entre dois acontecimentos A e B .
Em ambos os referenciais S e S tem-se A ( 0, 0 ) . Porém, no referencial S , deverá ter-se B ( cT0 , 0 ) ; no referencial S , no entanto, tem-se B ( cT , vT ) .

ct

ct vT C

B

x

cT

cT0

A

x

Figura 1

Assim, podemos escrever

AC + CB = AB ∴

( cT ) e0 + ( v T ) e1 = ( cT0 ) e 0 .

(1)

Fazendo o produto interno de ambos os membros