Desafio2 Velocista

´ lculo em uma Varia
´ vel - Profa. Vanessa Paschoa
Ca
Exerc´ıcio e Desafio ∗ 30/04/2015

Informa¸ c˜ ao:
- O primeiro exerc´ıcio est´ a resolvido como exemplo.
- O segundo ´e deixado para que todos entreguem (ser´a contado nota de atividade).
- O terceiro ´e mais dif´ıcil e deixado como desafio (apenas quem entregar resolvido corretamente ganhar´a ponto extra).
Exerc´ıcio 1. (Exemplo) Em estradas perpendiculares o carro A est´a se movimentando para oeste a 90 km/h e o carro B est´ a se movimentando para norte a 100 km/h, de modo que ambos v˜ao em sentido da intersec¸c˜ ao das estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro A est´ a a 60m e o carro B est´a a 80 m da intersec¸c˜ao das estradas?

C: intersec¸c˜ ao das estradas x : distˆ ancia do carro A a C com rela¸c˜ ao ao tempo (x = x(t)) y : distˆ ancia do carro B a C com rela¸c˜ ao ao tempo (y = y(t)) z : distˆ ancia entre os carros A e B com rela¸c˜ ao ao tempo
(z = z(t))

dx dy = 90 km/h e
= 100 km/h. dt dt dz Para encontrar busquemos uma rela¸c˜ ao entre x, y e z. dt Sabemos que, pelo Teorema de Pit´ agoras dz
=?
dt

Sabemos que

z 2 = x2 + y 2 .
Deste modo, ao derivarmos as express˜ oes dos dois lado da equa¸ca
˜o anterior com rela¸c˜ ao a vari´ avel t obtemos
(1)

2z

dz dx dy
= 2x
+ 2y . dt dt dt dz
Nos interessa saber o valor de no instante t em que x = 60m e y = 80m, e sabemos que dt dx dy = 90 km/h e
= 100 km/h. Al´em disso, sabemos neste instante o valor de z satistaz z 2 = dt dt
√
(60)2 + (80)2 . Como o valor de z deve ser positivo, ent˜ ao z = (60)2 + (80)2 = 10000 = 100.
Substituindo estes valores na express˜ ao (1) temos
2(100)
Da´ı podemos obter

dz
= 2(60)(90) + 2(80)(100). dt dz
= 134 (valor em km/h). dt Exerc´ıcio 2. (Entregar at´e 06/05/15) Uma escada de 2, 5 m de comprimento est´a apoiada em uma parede com sua base a 3m da parede. A escada come¸ca a deslizar de modo o ponto de apoio da escada na parede desce a 0, 15m/s. Encontre a taxa de varia¸c˜ao que o p´e da