Cônicas

Cônicas
Parábolas
Consideremos um plano, uma reta d e um ponto F não pertencente a d.

Se P equidista de F e d, isto é, d(F, P) =d(P, d), P pertence à parábola.
Com a finalidade de obtermos uma equação da parábola, teremos que referi- la ao sistema de eixos cartesianos.

Elementos da Parábola:

• F: foco
• d: reta diretriz
• V: vértice ⇒ o ponto mais baixo, ou mais alto, mais à esquerda, ou mais à direita.
• e: eixo de simetria ⇒ reta que passa pelo foco e pelo vértice e é perpendicular a d.

Eixo de simetria vertical – paralelo ao eixo y

Eixo de simetria horizontal – paralelo ao eixo x Equação da Parábola de Vértice na Origem do Sistema
Exemplo 1: Eixo de simetria da parábola coincide com o eixo Oy. Seja P(x, y), F(0, p/2) e F’(x, -p/2).
׀FP׀= ׀P’P׀
Como P’(x, -p/2), vem:
׀(x-0, y-p/2)׀= ׀(x-x, y+ p/2)׀
√[(x-0)² + (y- p/2)²] = √[( x-x)² + (y+ p/2)]
Elevamos ambos os membros ao quadrado, obtemos:
(x- 0)² + (y- p/2) = (x- x)² + (y+ p/2)²
Ou:
x² + y² - py+ p²/4= y²+ py+ p²/4
Ou, simplesmente: x²= 2py→ Equação da parábola de vértice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo dos y.
Da análise desta equação conclui- se que, tendo em vista ser 2py sempre positivo ou nulo (pois é iguala x²≥0), os sinais de p e de y são sempre iguais. Consequentemente, se p>0 a parábola tem concavidade voltada para cima e, se p 2c, é denominada Elipse de focos F e F´ com eixo maior 2a o Lugar Geométrico dos pontos P tais que PF+PF´=2a.

Construção geométrica:

Constrói-se no papel um segmento de comprimento 2a de extremidades F e F´, e marca-se um ponto qualquer nesse segmento (chamemos esse ponto de P). Com um compasso, marca- se o comprimento FA. A partir do ponto F marca-se o arco FA no papel. Novamente com o compasso, marca-se o comprimento F´A no segmento, e em seguida traça-se o arco F´A no papel. O ponto de encontro entre os arcos traçados é um ponto da elipse. Fazendo vários pontos dessa maneira teremos um