Cálculo I

1
MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
RESUMO DA AULA TEÓRICA 8
Livro do Stewart: Seções 2.7 a 2.9, 3.1, 3.2 e 3.4.
DERIVADA E RETA TANGENTE
Seja P  ( a, f ( a )) um ponto fixado no gráfico da função y  f ( x ) . Agora considere um outro ponto Q  ( x, f ( x)) sobre o gráfico dessa função. (veja figura abaixo).




O coeficiente angular da reta secante PQ é dado pela expressão mPQ 

f ( x)  f (a)
.
xa

Conforme observamos na aula teórica 5, quando x tende ao número a aparentemente a




reta secante PQ tende a uma certa posição. Se esse limite existir, diremos que a




posição limite das retas secantes PQ é a reta tangente ao gráfico de
Para formalizar esse conceito, vamos definir:

Definição: a derivada da função

f no ponto P .

f no ponto x  a , denotada por f (a ) , é o valor de

qualquer um dos seguintes limites

f ( x)  f ( a ) f ( a  h)  f ( a )
,
 lim xa h xa h0 caso eles existam. Caso exista f (a ) , dizemos que f é derivável, ou que f possui derivada, no ponto x  a . f (a ) 

lim

Definição: se f é derivável no ponto x  a então a reta tangente ao gráfico de f no ponto P  (a, f (a )) é definida como sendo a reta que passa por P e tem inclinação

f (a ) . Ou seja, é a reta de equação y  f (a)  f (a)  ( x  a)

2

Exemplo 1: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da hipérbole

x  3.

y

1 em x

Exemplo 2: (velocidade média e velocidade instantânea) Suponhamos que a distância percorrida por um objeto, entre o instante 0 e t , é dada por f (t ) . Nesse caso, definimos a velocidade instantânea desse objeto no instante t  a por v ( a )  f ( a ) . Interpretar essa derivada como sendo o limite das velocidades média vm  conforme fazemos t tender a zero.

f f ( a  h)  f ( a )
,
 h t

Exemplo 3: O deslocamento de uma partícula em cada instante t, em segundos, é dado, em metros, por d (t )  5 t .
(a) Substituir os