czxcz

___________________________________________
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo

Capítulo 5: Aplicações da Derivada
5.1- Acréscimos e Diferenciais
1- Acréscimos
Seja y = f (x) uma função.
Se x varia de x1 a x2 , definimos o acréscimo de x, denotado por
∆ x , como ∆ x = x2 − x1 .
A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por
∆ y , dada por:
∆ y = f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ( x1 + ∆ x) − f ( x1 ) .
2- Diferenciais
Sejam y = f (x) uma função derivável e ∆ x um acréscimo de x.
Definimos:
a) A diferencial da variável independente x, denotada por dx, como dx = ∆ x .
b) A diferencial da variável dependente y, denotada por dy, como dy = f ' ( x).∆ x = f ' ( x).dx . dy dy
= f ' ( x) . A notação
, já dx dx usada para f ' ( x) , pode agora ser considerada um quociente entre duas diferenciais.
Observação: De acordo com a definição anterior, podemos escrever

3- Interpretação Geométrica
Consideremos a figura ao lado, que representa o gráfico de uma função y = f (x) derivável.
O acréscimo ∆ x que define a diferencial dx está geometricamente representado pela medida do segmento PM.
O acréscimo ∆ y está representado pela medida do segmento MQ.
A reta t é tangente à curva no ponto P. Esta reta corta a reta x = x2 no ponto R, formando o triângulo retângulo PMR. dy MR
A inclinação desta reta t é dada por f ' ( x1 ) = tgα =
. Usando o fato de que f ' ( x1 ) =
, concluímos dx PM que dy = MR , já que PM = dx .
Observamos que, quando ∆ x torna-se muito pequeno, o mesmo ocorre com a diferença ∆ y − dy .
Usamos esse fato em exemplos práticos, considerando ∆ y ≅ dy , desde que o ∆ x considerado seja um valor pequeno.

83

4- Exemplos
1. Se y = 2 x 2 − 6 x + 5 , calcule o acréscimo ∆ y para x = 3 e ∆ x = 0,01 .

2. Se y = 6 x 2 − 4 , calcule ∆ y e dy para x = 2 e ∆ x = 0,001 .

3. Calcule um valor aproximado para

3

65,5 usando